O produto de solubilidade do \mathrm{Ce}(\mathrm{IO} 3) 3 é 3,2 \times 10^{-10}. Qual a concentração de \mathrm{Ce}^{3+} em solução preparada pela mistura de 50 mL de \mathrm{Ce}^{3+} 0,0450 \mathrm{M} com 50 mL de:
0,0500 \mathrm{M} \mathrm{IO}_{3}{ }^{-}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá o produto de solubilidade \;K_{sp}(\mathrm{Ce(IO_3)_3}) = 3{,}2\times10^{-10}.
  • Dá volumes e concentrações antes da mistura:
    • 50\\ \text{mL} de \mathrm{Ce}^{3+} a 0{,}0450\\ \text{M}.
    • 50\\ \text{mL} de \mathrm{IO}_3^{-} a 0{,}0500\\ \text{M}.
  • Pergunta: qual a concentração de \mathrm{Ce}^{3+} na solução resultante após mistura e estabelecimento do equilíbrio com possível precipitado de \mathrm{Ce(IO_3)_3}?
Informações relevantes que vou usar (já listadas):
  • Reação de dissolução/precipitação:
\mathrm{Ce(IO_3)_3(s)} \rightleftharpoons \mathrm{Ce^{3+}(aq)} + 3\,\mathrm{IO_3^{-}(aq)}
  • Expressão do produto de solubilidade:
K_{sp} = [\mathrm{Ce^{3+}}]\,[\mathrm{IO_3^{-}}]^3.

Passo 2

Calcular as concentrações iniciais após a mistura (diluição para volume total 50+50=100\\ \text{mL}).
  • Concentração inicial de \mathrm{Ce^{3+}} após mistura:
[\mathrm{Ce^{3+}}]_0 = 0{,}0450\cdot\frac{50}{100} = 0{,}02250\\ \text{M}.
  • Concentração inicial de \mathrm{IO_3^{-}} após mistura:
[\mathrm{IO_3^{-}}]_0 = 0{,}0500\cdot\frac{50}{100} = 0{,}02500\\ \text{M}.
Aqui defini as concentrações iniciais após mistura porque ambas soluções foram diluídas no mesmo volume final.

Passo 3

Verificar se ocorre precipitação comparando o quociente de reação Q com K_{sp}.
Calcular Q com as concentrações iniciais:
Q = [\mathrm{Ce^{3+}}]_0\,[\mathrm{IO_3^{-}}]_0^3 = 0{,}02250\cdot(0{,}02500)^3.
Cálculo numérico:
(0{,}02500)^3 = 0{,}000015625,
Q = 0{,}02250\cdot0{,}000015625 = 3{,}516\times10^{-7}.
Comparando:
Q = 3{,}516\times10^{-7} \quad\text{e}\quad K_{sp}=3{,}2\times10^{-10}.
Como Q\gg K_{sp}, a solução é supersaturada e ocorrerá precipitação de \mathrm{Ce(IO_3)_3} até atingir o equilíbrio.

Passo 4

Montar o balanço de massa e a condição de equilíbrio.
Seja y (em mol/L) a quantidade de \mathrm{Ce^{3+}} que precipita. Então, nas concentrações:
  • [\mathrm{Ce^{3+}}]_{eq} = [\mathrm{Ce^{3+}}]_0 - y.
  • [\mathrm{IO_3^{-}}]_{eq} = [\mathrm{IO_3^{-}}]_0 - 3y.
No equilíbrio deve valer:
K_{sp} = ([\mathrm{Ce^{3+}}]_0 - y)\,([\mathrm{IO_3^{-}}]_0 - 3y)^3.
Para trabalhar de forma mais prática, elimino y escrevendo [\mathrm{Ce^{3+}}]_{eq} em função de [\mathrm{IO_3^{-}}]_{eq}. Chamando [I]\equiv[\mathrm{IO_3^{-}}]_{eq} e sabendo que y = \dfrac{[\mathrm{IO_3^{-}}]_0 - [I]}{3}, obtenho:
[\mathrm{Ce^{3+}}]_{eq} = [\mathrm{Ce^{3+}}]_0 - \frac{[\mathrm{IO_3^{-}}]_0 - [I]}{3} = \left([\mathrm{Ce^{3+}}]_0 - \frac{[\mathrm{IO_3^{-}}]_0}{3}\right) + \frac{[I]}{3}.
Definindo A = [\mathrm{Ce^{3+}}]_0 - \dfrac{[\mathrm{IO_3^{-}}]_0}{3} que é constante conhecida, fica:
[\mathrm{Ce^{3+}}]_{eq} = A + \frac{[I]}{3}.
Substituindo em K_{sp}:
K_{sp} = \left(A + \frac{[I]}{3}\right)\,[I]^3.
Agora calculo A usando os valores iniciais:
A = 0{,}02250 - \frac{0{,}02500}{3} = 0{,}02250 - 0{,}008333\ldots = 0{,}0141667\\ \text{M}.
Portanto a equação do equilíbrio reduz-se a:
K_{sp} = \left(0{,}0141667 + \frac{[I]}{3}\right)\,[I]^3.
Isso é uma equação em [I] que, estritamente, é um polinômio de grau 4. Em muitos casos práticos (quando [I] no equilíbrio for pequeno relativamente a 3A), é razoável aproximar A + \dfrac{[I]}{3}\approx A e depois refinar por iteração. Vou fazer isso para obter uma solução simples e precisa.

Passo 5

Primeira aproximação (neglecto \dfrac{[I]}{3} comparado com A):
Aproximação:
K_{sp} \approx A\,[I]^3 \quad\Rightarrow\quad [I]^3 \approx \frac{K_{sp}}{A}.
Substituindo valores:
[I]^3 \approx \frac{3{,}2\times10^{-10}}{0{,}0141667} = 2{,}259\times10^{-8}.
Tomando a raiz cúbica:
[I] \approx \sqrt[3]{2{,}259\times10^{-8}} \approx 2{,}82\times10^{-3}\\ \text{M}.
Agora faço uma iteração: calculo [\mathrm{Ce^{3+}}]_{eq} com este [I] e volto à expressão exata para refinar [I].
Calcular [\mathrm{Ce^{3+}}]_{eq} usando a relação linear:
[\mathrm{Ce^{3+}}]_{eq} = A + \frac{[I]}{3} = 0{,}0141667 + \frac{0{,}00282}{3} = 0{,}0141667 + 0{,}00094 = 0{,}015107\\ \text{M}.
Refinando [I] usando K_{sp} = [\mathrm{Ce^{3+}}]_{eq}[I]^3:
[I]^3 = \frac{K_{sp}}{[\mathrm{Ce^{3+}}]_{eq}} = \frac{3{,}2\times10^{-10}}{0{,}015107} = 2{,}118\times10^{-8},
[I] = \sqrt[3]{2{,}118\times10^{-8}} \approx 2{,}77\times10^{-3}\\ \text{M}.
Uma segunda iteração dá:
[\mathrm{Ce^{3+}}]_{eq} = 0{,}0141667 + \frac{0{,}00277}{3} = 0{,}0141667 + 0{,}000923 \approx 0{,}015090\\ \text{M}.
Recomputando [I] com este valor mudaria muito pouco; portanto a solução converge para:
[\mathrm{Ce^{3+}}]_{eq} \approx 0{,}01509\\ \text{M}.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida:
  • Fiz a verificação inicial Q\gg K_{sp} para confirmar precipitação.
  • Montei o balanço de massa correto e usei a aproximação A para simplificar a equação polinomial, iterando uma vez para refinar.
  • A iteração convergiu rapidamente, indicando que a aproximação foi válida e a solução está estável.

Resposta

0{,}0151\\ \text{M}

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