(4) (6.1) Determine \left[T_{1}^{2}\right., sendo T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} ; T(x, y, z)=(-2 x+y-z, \quad 5 x+3 z) con \alpha=\{(1,1,1),(1,0,-1),(0,0,3)\} \in \beta=\{(1,0),(1,-1)\}. bases do \mathbb{R}^{3} e do \mathbb{R}^{2} respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a matriz de T em relação às bases \alpha do domínio e \beta do contradomínio. Informações dadas:
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\qquad T(x,y,z)=(-2x+y-z,\;5x+3z).
A base do domínio é \alpha=\{(1,1,1),(1,0,-1),(0,0,3)\}.
A base do contradomínio é \beta=\{(1,0),(1,-1)\}.
O que precisamos encontrar: a matriz de T cujo j-ésimo vetor coluna são as coordenadas de T(v_j) (onde v_j é o j-ésimo vetor de \alpha) expressas na base \beta.

Passo 2

Explicando o método (passo a passo e didático): como T é linear, para cada vetor v_j\in\alpha calculamos T(v_j)\in\mathbb{R}^2. Em seguida escrevemos T(v_j) como combinação linear dos vetores da base \beta. Se \beta=\{w_1,w_2\} e
T(v_j)=c_{1j}w_1+c_{2j}w_2,
então a coluna j da matriz de T relativa a (\alpha,\beta) é o vetor coluna \begin{pmatrix}c_{1j}\\[4pt]c_{2j}\end{pmatrix}.
Aqui w_1=(1,0) e w_2=(1,-1). Para achar c_{1j},c_{2j} resolvemos o sistema que vem de
c_{1j}w_1+c_{2j}w_2=(c_{1j}+c_{2j},\,-c_{2j})=T(v_j).
Vou aplicar isso para cada vetor de \alpha.]

Passo 3

Calcular T\) do primeiro vetor de \(\alpha\): \(v_1=(1,1,1)\). Substituindo em \(T(x,y,z)\): \[T(1,1,1)=(-2\cdot1+1-1,\;5\cdot1+3\cdot1)=(-2,\;8).
Agora achamos c_{11},c_{21} tais que
(c_{11}+c_{21},\,-c_{21})=(-2,8).
Isso gera o sistema
\begin{cases} c_{11}+c_{21}=-2,\\[4pt] -c_{21}=8. \end{cases}
Da segunda equação vem c_{21}=-8\]. Substituindo na primeira: \[c_{11}+(-8)=-2\quad\Rightarrow\quad c_{11}=6.\] Logo as coordenadas de \(T(v_1) na base \beta são \begin{pmatrix}6\\[4pt]-8\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular T\) do segundo vetor de \(\alpha\): \(v_2=(1,0,-1)\). Substituindo: \[T(1,0,-1)=(-2\cdot1+0-(-1),\;5\cdot1+3\cdot(-1))=(-1,\;2).
Procuramos c_{12},c_{22} tais que
(c_{12}+c_{22},\,-c_{22})=(-1,2).
Assim
\begin{cases} c_{12}+c_{22}=-1,\\[4pt] -c_{22}=2. \end{cases}
Da segunda equação c_{22}=-2\]. Então \(c_{12}=-1- c_{22}=-1-(-2)=1.
Portanto as coordenadas de T(v_2) na base \beta são \begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular T\) do terceiro vetor de \(\alpha\): \(v_3=(0,0,3)\). Substituindo: \[T(0,0,3)=(-2\cdot0+0-3,\;5\cdot0+3\cdot3)=(-3,\;9).
Procuramos c_{13},c_{23} tais que
(c_{13}+c_{23},\,-c_{23})=(-3,9).
Então
\begin{cases} c_{13}+c_{23}=-3,\\[4pt] -c_{23}=9. \end{cases}
Da segunda equação c_{23}=-9\]. Substituindo na primeira: \(c_{13}=-3- c_{23}=-3-(-9)=6.
Assim as coordenadas de T(v_3) na base \beta são \begin{pmatrix}6\\[4pt]-9\end{pmatrix}.]

Passo 6

Montamos a matriz de T em relação a \alpha (domínio) e \beta (contradomínio) usando as colunas encontradas (uma coluna por vetor de \alpha):
[T]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix} 6 & 1 & 6\\[6pt] -8 & -2 & -9 \end{pmatrix}.
Se quiser, dá para conferir: por exemplo a primeira coluna corresponde a T(1,1,1) escrita em \beta, etc. Força aí, tá indo bem!]

Resposta

[T]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix} 6 & 1 & 6\\[6pt] -8 & -2 & -9 \end{pmatrix}]

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