Considerando o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(-x, 4 x-y, 2 x+3 z), determine:
(3.) (L.W) Se o operador T é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definido por
T(x,y,z)=(-x,\;4x-y,\;2x+3z).
A pergunta que preciso responder é: T é diagonalizável? \n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{Regra de }T:\; (x,y,z)\mapsto(-x,\;4x-y,\;2x+3z).
Nenhuma outra informação externa foi dada.
Passo 2
Representar T na base canônica e obter a matriz associada A. \n
Como padrão, as colunas de A são as imagens dos vetores da base canônica (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1). Calculo:
Explicação rápida (caso você não tenha visto antes): cada coluna corresponde às coordenadas da imagem de um vetor da base; por exemplo a primeira coluna é T(1,0,0).]
Passo 3
Encontrar os autovalores (valores próprios) calculando o polinômio característico \det(A-\lambda I). \n
Calculo:
Da primeira (ou terceira) obtemos x=0. Substituindo em 4x-4y=0 dá -4y=0 então y=0. z é livre. Logo os vetores próprios associados a \lambda=3 são todos múltiplos de (0,0,1). \n
Assim a multiplicidade geométrica de \lambda=3 é \dim E_{3}=1.]
Da segunda equação vem x=0. Substituindo em 2x+4z=0 obtemos 4z=0 então z=0. Assim y fica livre. Logo os autovetores para \lambda=-1 são todos múltiplos de (0,1,0). \n
Portanto a multiplicidade geométrica de \lambda=-1 é \dim E_{-1}=1, embora sua multiplicidade algébrica seja 2.
Explicação do conceito: multiplicidade geométrica = dimensão do espaço dos autovetores (autespaço) associado ao autovalor; para diagonalizar precisamos de autovetores linearmente independentes suficientes.]
Passo 6
Critério de diagonalização e conclusão. \n
Um operador linear em \mathbb{R}^{3} é diagonalizável se e somente se existe uma base de \mathbb{R}^{3} formada por autovetores, o que equivale a que a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores seja 3 (ou, equivalentemente, que para cada autovalor sua multiplicidade geométrica iguale sua multiplicidade algébrica). \n
Aqui temos:
\dim E_{3}=1,\qquad \dim E_{-1}=1,
soma das dimensões =1+1=2<3. Em particular, para \lambda=-1 temos multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica 1, ou seja, falta um autovetor para completar a base. Portanto não existe base formada por três autovetores (só encontramos dois linearmente independentes). \n
Conclusão: T não é diagonalizável.