QUESTÃO 1. (25 Pts) Dado o conjunto \mathrm{S}=\{(-2,2),(-1,2)\} um subconjunto de \mathrm{V}=\mathrm{R}^{2}, verificar se S é uma base de V e se \vec{v}=(-4,1) é gerado por S .

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede e o que temos):
  • O conjunto S=\{(-2,2),(-1,2)\} é um subconjunto de V=\mathbb{R}^{2}.
  • Vetor a testar: \vec{v}=(-4,1).
  • Perguntas do enunciado:
    1. Verificar se S é uma base de V.
    2. Verificar se \vec{v} é gerado por S (ou seja, se \vec{v}\in\operatorname{span}(S)).
  • Informações relevantes: os elementos de S são dois vetores em \mathbb{R}^2. Nada mais foi dado.

Passo 2

O que significa ser base e como vamos verificar (pequena aula):
  • Definição: um conjunto de vetores é base de \mathbb{R}^{2} se for linearmente independente e gerar todo \mathbb{R}^{2}.
  • Atalho útil em \mathbb{R}^{2}: qualquer conjunto com exatamente dois vetores que seja linearmente independente já é uma base (porque a dimensão de \mathbb{R}^{2} é 2). Portanto basta mostrar independência linear.
  • Como testar independência para dois vetores em \mathbb{R}^{2}: verificar se um é múltiplo do outro (se for, são dependentes); ou calcular o determinante da matriz 2×2 cujas colunas (ou linhas) são esses vetores — se o determinante for diferente de zero, são linearmente independentes.
  • O determinante de uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}
é dado por ad-bc. Se for distinto de zero, a matriz é invertível e as colunas são linearmente independentes.

Passo 3

Aplicando o teste de determinante aos vetores de S:
  • Colocamos os vetores de S como colunas da matriz
A = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\[4pt] 2 & 2 \end{pmatrix}.
  • Calculamos o determinante:
\det(A) = (-2)\cdot 2 - 2\cdot(-1).
  • Efetuando as operações:
\det(A) = -4 - (-2) = -4 + 2 = -2.
  • Conclusão dessa etapa: \det(A)=-2\neq 0, logo as colunas (os vetores de S) são linearmente independentes.]

Passo 4

Conclusão sobre ser base (explicação conectando as ideias):
  • Como S tem dois vetores em \mathbb{R}^{2} e já mostramos que são linearmente independentes, isso basta para afirmar que S gera \mathbb{R}^{2}. Em outras palavras, um conjunto de 2 vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{2} forma uma base.
  • Portanto S é uma base de V=\mathbb{R}^{2}.

Passo 5

Agora: verificar se \vec{v}=(-4,1) é gerado por S — método e pequena aula:
  • Dizer que \vec{v} é gerado por S significa que existem escalares a e b tais que
a(-2,2)+b(-1,2)=(-4,1).
  • Isso gera um sistema linear de duas equações nas incógnitas a e b. Vamos montar e resolver esse sistema passo a passo.

Passo 6

Montagem do sistema e resolução (passo a passo):
  • Escrevendo componente a componente obtemos o sistema
\begin{cases} -2a - b = -4,\\[4pt] 2a + 2b = 1. \end{cases}
  • Da segunda equação podemos simplificar dividindo por 2:
a + b = \tfrac{1}{2}.
  • Isolamos b:
b = \tfrac{1}{2} - a.
  • Substituímos na primeira equação:
-2a -\bigl(\tfrac{1}{2}-a\bigr) = -4.
  • Desenvolvendo:
-2a - \tfrac{1}{2} + a = -4 \quad\Rightarrow\quad -a - \tfrac{1}{2} = -4.
  • Isolando a:
-a = -4 + \tfrac{1}{2} = -\tfrac{8}{2} + \tfrac{1}{2} = -\tfrac{7}{2},
portanto
a = \tfrac{7}{2}.
  • Calculamos b:
b = \tfrac{1}{2} - a = \tfrac{1}{2} - \tfrac{7}{2} = -\tfrac{6}{2} = -3.]

Passo 7

Verificação e conclusão sobre geração:
  • Verificamos a combinação encontrada:
\tfrac{7}{2}(-2,2)+(-3)(-1,2)=\bigl(-7,7\bigr)+\bigl(3,-6\bigr)=(-4,1),
logo a combinação funciona.
  • Conclusão: existem escalares a=\tfrac{7}{2} e b=-3 tais que a(-2,2)+b(-1,2)=(-4,1). Portanto \vec{v} pertence ao subespaço gerado por S; ou seja, \vec{v} é gerado por S.

Resposta

S é base de V: Sim.
\vec{v} é gerado por S: Sim; \displaystyle (-4,1)=\tfrac{7}{2}(-2,2)-3(-1,2).

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