QUESTÃO 1. (25 Pts) Dado o conjunto
um subconjunto de
, verificar se S é uma base de V e se
é gerado por S .
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede e o que temos):
- O conjunto
é um subconjunto de . - Vetor a testar:
. - Perguntas do enunciado:
- Verificar se
é uma base de . - Verificar se
é gerado por (ou seja, se ).
- Verificar se
- Informações relevantes: os elementos de
são dois vetores em . Nada mais foi dado.
Passo 2
O que significa ser base e como vamos verificar (pequena aula):
- Definição: um conjunto de vetores é base de
se for linearmente independente e gerar todo . - Atalho útil em
: qualquer conjunto com exatamente dois vetores que seja linearmente independente já é uma base (porque a dimensão de é ). Portanto basta mostrar independência linear. - Como testar independência para dois vetores em
: verificar se um é múltiplo do outro (se for, são dependentes); ou calcular o determinante da matriz 2×2 cujas colunas (ou linhas) são esses vetores — se o determinante for diferente de zero, são linearmente independentes. - O determinante de uma matriz
é dado por
. Se for distinto de zero, a matriz é invertível e as colunas são linearmente independentes.
Passo 3
Aplicando o teste de determinante aos vetores de
:
- Colocamos os vetores de
como colunas da matriz
- Calculamos o determinante:
- Efetuando as operações:
- Conclusão dessa etapa:
, logo as colunas (os vetores de ) são linearmente independentes.]
Passo 4
Conclusão sobre ser base (explicação conectando as ideias):
- Como
tem dois vetores em e já mostramos que são linearmente independentes, isso basta para afirmar que gera . Em outras palavras, um conjunto de vetores linearmente independentes em forma uma base. - Portanto
é uma base de .
Passo 5
Agora: verificar se
é gerado por
— método e pequena aula:
- Dizer que
é gerado por significa que existem escalares e tais que
- Isso gera um sistema linear de duas equações nas incógnitas
e . Vamos montar e resolver esse sistema passo a passo.
Passo 6
Montagem do sistema e resolução (passo a passo):
- Escrevendo componente a componente obtemos o sistema
- Da segunda equação podemos simplificar dividindo por
:
- Isolamos
:
- Substituímos na primeira equação:
- Desenvolvendo:
- Isolando
:
portanto
- Calculamos
:
Passo 7
Verificação e conclusão sobre geração:
- Verificamos a combinação encontrada:
logo a combinação funciona.
- Conclusão: existem escalares
e tais que . Portanto pertence ao subespaço gerado por ; ou seja, é gerado por .
Resposta
S é base de
: Sim.
é gerado por
: Sim;
.