Determine as leis que definem as funções:
g leva cada número real ao seu cubo menos 1 ;

Passo 1

O enunciado diz: " g leva cada número real ao seu cubo menos 1."
O que nos é dado:
  • Para cada x\in\mathbb{R}, g transforma x em "o cubo de x menos 1".
O que o exercício pede:
  • Determinar a lei (a fórmula) que define a função g.
  • É útil também especificar domínio, contradomínio e imagem da função.

Passo 2

O que significa “lei da função”?
  • A lei é a regra que diz, para cada entrada x, qual é a saída g(x). Em notação usamos algo como g:\text{domínio}\to\text{contradomínio}íí e escrevemos g(x)=\dots.
  • Também vale explicitar o domínio (valores que posso usar como entrada) e o contradomínio (valores que estamos considerando como possíveis saídas).

Passo 3

Traduzindo literalmente "cada número real ao seu cubo menos 1" para uma fórmula:
  • O cubo de x é x^3.
  • "Menos 1" significa subtrair 1.
    Portanto a regra é g(x)=x^3-1.

Passo 4

Escolhendo domínio e contradomínio naturais para essa regra:
  • A expressão x^3-1 está bem definida para todo x\in\mathbb{R}, e o resultado também é um número real.
  • Logo faz sentido tomar domínio =\mathbb{R} e contradomínio =\mathbb{R}.
    Em notação: g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e g(x)=x^3-1.

Passo 5

Exemplos práticos (para você treinar na prova):
  • Para x=0: g(0)=0^3-1=-1.
  • Para x=1: g(1)=1^3-1=0.
  • Para x=2: g(2)=2^3-1=8-1=7.
  • Para x=-1: g(-1)=(-1)^3-1=-1-1=-2.
    Esses exemplos mostram como aplicar a lei passo a passo: calcule o cubo, depois subtraia 1.

Passo 6

Qual é a imagem (conjunto de valores atingidos) de g?
  • Seja y\in\mathbb{R}. Queremos ver se existe x tal que g(x)=y, isto é, x^3-1=y.
  • Resolvendo: x^3=y+1 e portanto x=\sqrt[3]{\,y+1\,}, que é um número real para qualquer y.
  • Assim, para qualquer y\in\mathbb{R} existe x\in\mathbb{R} com g(x)=y. Logo a imagem de g é todo \mathbb{R}.
    Isso também mostra que g é bijetora (injetora e sobrejetora) e a inversa é g^{-1}(y)=\sqrt[3]{\,y+1\,}.

Resposta

g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad g(x)=x^3-1
\mathrm{Im}(g)=\mathbb{R}

Exercícios relacionados