Considere a equação diferencial linear de terceira ordem:
y^{\prime \prime \prime}(x)-3 y^{\prime \prime}(x)+3 y^{\prime}(x)-y(x)=\operatorname{sen}(2 x)
com condições iniciais:
y(0)=0, y^{\prime}(0)=1, y^{\prime \prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial linear de terceira ordem não-homogênea e condições iniciais. Vou listar claramente o que é pedido e as informações fornecidas.
  • Equação diferencial:
y^{\prime\prime\prime}(x)-3y^{\prime\prime}(x)+3y^{\prime}(x)-y(x)=\sin(2x).
  • Condições iniciais:
y(0)=0,\qquad y^{\prime}(0)=1,\qquad y^{\prime\prime}(0)=0.
Perguntas implícitas: encontrar a solução y(x) que satisfaça a equação e as condições iniciais.
Informações relevantes que vamos usar:
  • O operador diferencial é linear com coeficientes constantes; a parte homogênea corresponde ao operador (D-1)^3 (onde D=\dfrac{d}{dx}).
  • O termo não-homogêneo é \sin(2x), que sugere usar método dos coeficientes a determinar (ou anulador) propondo combinação de \cos(2x) e \sin(2x).
  • As condições iniciais servem para determinar as constantes da solução geral.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada e construir a solução geral homogênea.
A parte homogênea é
y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime\prime}+3y^{\prime}-y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rx}. O polinômio característico é
r^{3}-3r^{2}+3r-1.
Observação: esse polinômio é a expansão de (r-1)^3, pois
(r-1)^3 = r^{3}-3r^{2}+3r-1.
Portanto a raiz é r=1 de multiplicidade 3. Para uma raiz real r=1 de multiplicidade 3, a combinação linear independente de soluções homogêneas é
e^{x},\qquad x e^{x},\qquad x^{2} e^{x}.
Logo a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=\big(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}\big)e^{x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes a determinar pelas condições iniciais após incluirmos a parte particular.
Explicando rapidamente o porquê: quando uma raiz r tem multiplicidade m, as m soluções independentes são e^{rx}, x e^{rx}, x^{2}e^{rx},\dots,x^{m-1}e^{rx}.

Passo 3

Escolher e construir um palpite para a solução particular usando o método dos coeficientes a determinar.
O lado direito é \sin(2x). Para forçar funções \sin(2x) e \cos(2x) usa-se um palpite do tipo
y_{p}(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x),
onde A e B são constantes desconhecidas. Antes de escolher este palpite, verificamos se alguma solução homogênea tem a mesma forma (multiplicidade de raízes complexas com r=\pm 2i); como as raízes homogêneas são somente r=1, não há conflito — portanto o palpite acima é adequado.
Agora precisamos calcular y_{p}^{\prime},y_{p}^{\prime\prime},y_{p}^{\prime\prime\prime} e substituir na equação para determinar A e B.

Passo 4

Calcular as derivadas de y_{p} e aplicar o operador diferencial L[y]=y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime\prime}+3y^{\prime}-y.
Começando por y_{p}:
y_{p}(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x).
Derivadas (usar regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\cos(2x)=-2\sin(2x), \dfrac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x)):
y_{p}^{\prime}(x)=-2A\sin(2x)+2B\cos(2x),
y_{p}^{\prime\prime}(x)=-4A\cos(2x)-4B\sin(2x),
y_{p}^{\prime\prime\prime}(x)=8A\sin(2x)-8B\cos(2x).
Agora aplicar L:
L[y_{p}] = y_{p}^{\prime\prime\prime}-3y_{p}^{\prime\prime}+3y_{p}^{\prime}-y_{p}.
Vamos agrupar termos em \cos(2x) e \sin(2x).
Coeficiente de \cos(2x):
(-8B)\;(\text{de }y_{p}^{\prime\prime\prime})\;+\;(-3)(-4A)\;(\text{de }-3y_{p}^{\prime\prime})\;+\;3(2B)\;(\text{de }3y_{p}^{\prime})\;+\;(-A)\;(\text{de }-y_{p}),
ou seja
-8B+12A+6B-A = 11A-2B.
Coeficiente de \sin(2x):
(8A)\;+\;(-3)(-4B)\;+\;3(-2A)\;+\;(-B)
ou seja
8A+12B-6A-B = 2A+11B.
Portanto
L[y_{p}](x)=(11A-2B)\cos(2x)+(2A+11B)\sin(2x).
Queremos L[y_{p}]=\sin(2x), isto é
(11A-2B)\cos(2x)+(2A+11B)\sin(2x)=0\cdot\cos(2x)+1\cdot\sin(2x).
Isto gera o sistema linear para A,B:
\begin{cases} 11A-2B=0,\\[4pt] 2A+11B=1. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema linear para A e B.
Da primeira equação 11A=2B, então
A=\dfrac{2}{11}B.
Substituindo na segunda:
2\!\left(\dfrac{2}{11}B\right)+11B=1 \quad\Rightarrow\quad \left(\dfrac{4}{11}+11\right)B=1.
Calcular \dfrac{4}{11}+11=\dfrac{4+121}{11}=\dfrac{125}{11}. Assim
\dfrac{125}{11}B=1 \quad\Rightarrow\quad B=\dfrac{11}{125}.
Então
A=\dfrac{2}{11}B=\dfrac{2}{11}\cdot\dfrac{11}{125}=\dfrac{2}{125}.
Logo a solução particular é
y_{p}(x)=\dfrac{2}{125}\cos(2x)+\dfrac{11}{125}\sin(2x).

Passo 6

Escrever a solução geral da equação não-homogênea combinando homogênea e particular.
A solução geral é
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=\big(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}\big)e^{x}+\dfrac{2}{125}\cos(2x)+\dfrac{11}{125}\sin(2x).
Agora usaremos as condições iniciais para determinar C_{1},C_{2},C_{3}.

Passo 7

Calcular y(0) e usar y(0)=0 para obter C_{1}.
Avaliar em x=0:
y(0)=\big(C_{1}+C_{2}\cdot0+C_{3}\cdot0\big)e^{0}+\dfrac{2}{125}\cos(0)+\dfrac{11}{125}\sin(0).
Como \cos(0)=1 e \sin(0)=0, isso dá
y(0)=C_{1}+\dfrac{2}{125}.
A condição y(0)=0 implica
C_{1}+\dfrac{2}{125}=0\quad\Rightarrow\quad C_{1}=-\dfrac{2}{125}.

Passo 8

Calcular y^{\prime}(x), avaliar em x=0 e usar y^{\prime}(0)=1 para obter C_{2}.
Primeiro, derive a parte exponencial. Se u(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}, então
\frac{d}{dx}\big(e^{x}u(x)\big)=e^{x}(u(x)+u'(x)).
Aqui u'(x)=C_{2}+2C_{3}x. Portanto
\big(e^{x}u(x)\big)^{\prime}=e^{x}\big(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}+C_{2}+2C_{3}x\big).
A derivada da parte particular já a tínhamos (ver Passo 4):
y_{p}^{\prime}(x)=-2\cdot\dfrac{2}{125}\sin(2x)+2\cdot\dfrac{11}{125}\cos(2x) = -\dfrac{4}{125}\sin(2x)+\dfrac{22}{125}\cos(2x).
Assim
y^{\prime}(x)=e^{x}\big(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}+C_{2}+2C_{3}x\big)-\dfrac{4}{125}\sin(2x)+\dfrac{22}{125}\cos(2x).
Avaliar em x=0: u(0)=C_{1}, u'(0)=C_{2}. Então
y^{\prime}(0)=C_{1}+C_{2}+\dfrac{22}{125}.
A condição y^{\prime}(0)=1
C_{1}+C_{2}+\dfrac{22}{125}=1.
Usando C_{1}=-\dfrac{2}{125}, obtemos
-\dfrac{2}{125}+C_{2}+\dfrac{22}{125}=1 \quad\Rightarrow\quad C_{2}+\dfrac{20}{125}=1.
Como \dfrac{20}{125}=\dfrac{4}{25}, temos
C_{2}=1-\dfrac{4}{25}=\dfrac{21}{25}.

Passo 9

Calcular y^{\prime\prime}(x), avaliar em x=0 e usar y^{\prime\prime}(0)=0 para obter C_{3}.
Para a parte exponencial, a segunda derivada pode ser obtida por
\big(e^{x}u(x)\big)^{\prime\prime}=e^{x}\big(u+2u'+u''\big).
Já sabemos u=C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}, u'=C_{2}+2C_{3}x, u''=2C_{3}. Logo, em x=0,
\big(e^{x}u(x)\big)^{\prime\prime}\Big|_{x=0}=C_{1}+2C_{2}+2C_{3}.
A segunda derivada da parte particular (ver Passo 4) é
y_{p}^{\prime\prime}(x)=-4\cdot\dfrac{2}{125}\cos(2x)-4\cdot\dfrac{11}{125}\sin(2x) =-\dfrac{8}{125}\cos(2x)-\dfrac{44}{125}\sin(2x).
Logo em x=0 obtemos y_{p}^{\prime\prime}(0)=-\dfrac{8}{125}.
Portanto
y^{\prime\prime}(0)=\big(C_{1}+2C_{2}+2C_{3}\big)-\dfrac{8}{125}.
A condição y^{\prime\prime}(0)=0 implica
C_{1}+2C_{2}+2C_{3}-\dfrac{8}{125}=0.
Substituindo C_{1}=-\dfrac{2}{125} e C_{2}=\dfrac{21}{25}:
-\dfrac{2}{125}+2\cdot\dfrac{21}{25}+2C_{3}-\dfrac{8}{125}=0.
Calcular os termos fracionários: -\dfrac{2}{125}-\dfrac{8}{125}=-\dfrac{10}{125}=-\dfrac{2}{25}. E 2\cdot\dfrac{21}{25}=\dfrac{42}{25}. Assim
-\dfrac{2}{25}+\dfrac{42}{25}+2C_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{40}{25}+2C_{3}=0.
Temos \dfrac{40}{25}=\dfrac{8}{5}. Então
2C_{3}=-\dfrac{8}{5}\quad\Rightarrow\quad C_{3}=-\dfrac{4}{5}.
Alternativamente, pode-se manipular simbolicamente: a equação resulta em C_{3}=(5/2)A-C_{2} com A=2/125, recuperando C_{3}=-4/5.

Passo 10

Escrever a solução final substituindo C_{1},C_{2},C_{3} e simplificar.
As constantes determinadas são
C_{1}=-\dfrac{2}{125},\qquad C_{2}=\dfrac{21}{25},\qquad C_{3}=-\dfrac{4}{5}.
Portanto a solução procurada é
y(x)=\left(-\dfrac{2}{125}+\dfrac{21}{25}x-\dfrac{4}{5}x^{2}\right)e^{x}+\dfrac{2}{125}\cos(2x)+\dfrac{11}{125}\sin(2x).

Resposta

y(x)=\left(-\dfrac{2}{125}+\dfrac{21}{25}x-\dfrac{4}{5}x^{2}\right)e^{x}+\dfrac{2}{125}\cos(2x)+\dfrac{11}{125}\sin(2x).

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