Determine:
(1,5) lim h 0 1h^2 integral1^1+h f(t) d t, sendo f uma função com derivada contínua em x=1 tal que f(1)=0, f^prime(1)=2. (Dica: note que obtém 00 quando h 0 )

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limhto01h^2integral1^1+hf(t),dt
sabendo que f tem derivada contínua em x=1, com f(1)=0 e f'(1)=2. Note que, quando hto0, o numerador e o denominador vão a zero, caracterizando uma forma tfrac00. Podemos então usar a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Defina
N(h)=integral1^1+hf(t),dt e D(h)=h^2
Como N(0)=0 e D(0)=0, aplicamos l’Hôpital:
limhto0N(h)D(h) =limhto0N'(h)D'(h) =limhto0f(1+h)2h
Aqui usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para obter N'(h)=f(1+h).

Passo 3

O quociente tfracf(1+h)2h ainda é da forma tfrac00 quando hto0, pois f(1)=0. Aplicamos l’Hôpital pela segunda vez:
limhto0f(1+h)2h =limhto0f'(1+h)2 =f'(1)2 =22=1

Resposta

1

Exercícios relacionados