Exercício 17. (F. 7.4, ex.1) Calcule as seguintes transformadas de Fourier seno e cosseno:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier cosseno de
isto é, calcular
Aqui o conteúdo é transformada de Fourier cosseno, e vamos usar integrais conhecidas de
e de
.
Passo 2
Escrevemos
Denotemos
Passo 3
Para
usamos a fórmula padrão (com
e
):
Logo
Passo 4
Para
usamos diferenciação em parâmetro. Note que
Mas já sabemos
.
Calculando a derivada em :
Calculando a derivada em
Portanto
Voltando a
,
:
Passo 5
Agora somamos
:
Podemos escrever num só denominador
: