Exercício 17. (F. 7.4, ex.1) Calcule as seguintes transformadas de Fourier seno e cosseno:
Fc((1+x) e^-k x)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier cosseno de
f(x) = (1 + x),e^-k x,
isto é, calcular
Fc[f](omega) = integral0^infty (1 + x),e^-k x,cos(omega x),dx
Aqui o conteúdo é transformada de Fourier cosseno, e vamos usar integrais conhecidas de
integral0^inftye^-a xcos(bx),dx e de
integral0^inftyx,e^-a xcos(bx),dx.

Passo 2

Escrevemos
Fc[f](omega) = integral0^infty(1+x)e^-k xcos(omega x),dx = integral0^inftye^-k xcos(omega x),dx + integral0^inftyx,e^-k xcos(omega x),dx
Denotemos
I1 = integral0^inftye^-k xcos(omega x),dx, I2 = integral0^inftyx,e^-k xcos(omega x),dx

Passo 3

Para I1 usamos a fórmula padrão (com a=k>0 e b=omega):
integral0^inftye^-a xcos(bx),dx = aa^2+b^2
Logo
I1 = kk^2+omega^2

Passo 4

Para I2 usamos diferenciação em parâmetro. Note que
partialpartial a l(integral0^inftye^-a xcos(bx),dxr) = -integral0^inftyx,e^-a xcos(bx),dx = -I2
Mas já sabemos integral0^inftye^-a xcos(bx),dx = aa^2+b^2.
Calculando a derivada em a:
partialpartial al(aa^2+b^2r) = (a^2+b^2) - 2a^2(a^2+b^2)^2 = b^2-a^2(a^2+b^2)^2
Portanto
I2 = -b^2-a^2(a^2+b^2)^2 = a^2-b^2(a^2+b^2)^2
Voltando a a=k, b=omega:
I2 = k^2-omega^2(k^2+omega^2)^2

Passo 5

Agora somamos I1+I2:
Fc[f](omega) = kk^2+omega^2 + k^2-omega^2(k^2+omega^2)^2
Podemos escrever num só denominador (k^2+omega^2)^2:
Fc[f](omega) = k(k^2+omega^2) + (k^2-omega^2)(k^2+omega^2)^2 = k^3 + komega^2 + k^2 - omega^2(k^2+omega^2)^2

Resposta

boxed Fcl[(1+x)e^-k xr](omega) = kk^2+omega^2 + k^2-omega^2(k^2+omega^2)^2 = k^3 + komega^2 + k^2 - omega^2(k^2+omega^2)^2

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