Exercício 6. Se
é uma aplicação bilinear (linear em cada uma de suas variáveis
), mostre que
é a transformação linear dada por:
Em seguida, encontre (e prove a validade de) uma expressão para a derivada de uma aplicação
-linear
Passo 1
O enunciado trata de uma aplicação bilinear
,
isto é, linear em cada variável separadamente. Queremos mostrar que ela é diferenciável e que sua derivada em é a transformação linear
isto é, linear em cada variável separadamente. Queremos mostrar que ela é diferenciável e que sua derivada em
Em seguida, generalizar para uma aplicação
-linear
e encontrar uma fórmula análoga para
.
Passo 2
Para verificar diferenciabilidade de
em
, usamos a definição de derivada: devemos escrever
onde
é o resto tal que
quando
.
Pela bilinearidade,
Subtraindo
, vem
Identificamos a parte linear em
como
e o resto
Passo 3
Falta ver que
é de ordem menor que
.
Como é bilinear contínua, existe constante
tal que
Como
Então, escrevendo
, temos
Logo
,
logo é diferenciável e
logo
Passo 4
Agora seja
uma aplicação
-linear (linear em cada uma das
variáveis). Denotemos
o ponto de diferenciação e
o incremento.
Pela multilinearidade,
onde em cada termo
ou
, e o somatório vai por todos os subconjuntos
que indicam os índices em que escolhemos
em vez de
.
Passo 5
Na expansão acima, o termo de ordem zero é
. Os termos de primeira ordem são aqueles em que aparece exatamente um único
, i.e.
Todos os outros termos, que usam pelo menos dois dos
, têm ordem superior em
e viram resto o
.
Concluímos que
é diferenciável em
e que sua derivada é a forma linear
Resposta
Para o caso bilinear,
Para o caso
-linear,