Exercício 6. Se B: R^n times R^n longrightarrow R^m é uma aplicação bilinear (linear em cada uma de suas variáveis x, y in R^n ), mostre que B^prime(x, y): R^n times R^n longrightarrow R^m é a transformação linear dada por:
B^prime(x, y) cdot(h, k)=B(h, y)+B(x, k)
Em seguida, encontre (e prove a validade de) uma expressão para a derivada de uma aplicação k-linear
B: R^n times R^n times cdots times R^n longrightarrow R^m

Passo 1

O enunciado trata de uma aplicação bilinear
,B:R^ntimesR^ntoR^m,
isto é, linear em cada variável separadamente. Queremos mostrar que ela é diferenciável e que sua derivada em (x,y) é a transformação linear
B'(x,y),:,R^ntimesR^nlongrightarrowR^m, B'(x,y)cdot(h,k)=B(h,y)+B(x,k)
Em seguida, generalizar para uma aplicação k-linear
,B:(R^n)^ktoR^m e encontrar uma fórmula análoga para B'.

Passo 2

Para verificar diferenciabilidade de B em (x,y), usamos a definição de derivada: devemos escrever
B(x+h,y+k)-B(x,y) ;=; (parte linear em ((h,k)));+;R(h,k),
onde R(h,k) é o resto tal que
|R(h,k)||(h,k)|to0 quando (h,k)to(0,0).
Pela bilinearidade,
B(x+h,y+k) = B(x,y)+B(h,y)+B(x,k)+B(h,k)
Subtraindo B(x,y), vem
B(x+h,y+k)-B(x,y) = B(h,y)+B(x,k)+B(h,k)
Identificamos a parte linear em (h,k) como
L(h,k)=B(h,y)+B(x,k)
e o resto
R(h,k)=B(h,k)

Passo 3

Falta ver que R(h,k)=B(h,k) é de ordem menor que |(h,k)|.
Como B é bilinear contínua, existe constante C tal que
|B(u,v)|<= C,|u|;|v| forall u,vinR^n
Então, escrevendo |(h,k)|=raiz|h|^2+|k|^2, temos
|R(h,k)|=|B(h,k)|<= C,|h||k|<= C,|(h,k)|^2
Logo
|R(h,k)||(h,k)|<= C,|(h,k)|to0,
logo B é diferenciável e
B'(x,y)cdot(h,k)=L(h,k)=B(h,y)+B(x,k)

Passo 4

Agora seja
B:(R^n)^klongrightarrowR^m
uma aplicação k-linear (linear em cada uma das k variáveis). Denotemos
(x1,dots,xk)in(R^n)^k o ponto de diferenciação e
(h1,dots,hk) o incremento.
Pela multilinearidade,
B(x1+h1,dots,xk+hk) =sumSsubset1,dots,k Bl(z1,dots,zkr),
onde em cada termo zi=xi ou zi=hi, e o somatório vai por todos os subconjuntos S que indicam os índices em que escolhemos hi em vez de xi.

Passo 5

Na expansão acima, o termo de ordem zero é B(x1,dots,xk). Os termos de primeira ordem são aqueles em que aparece exatamente um único hi, i.e.
sumi=1^k B(x1,dots,xi-1,,hi,,xi+1,dots,xk)
Todos os outros termos, que usam pelo menos dois dos hi, têm ordem superior em |(h1,dots,hk)| e viram resto o l(|(h1,dots,hk)|r).
Concluímos que B é diferenciável em (x1,dots,xk) e que sua derivada é a forma linear
B'(x1,dots,xk)cdot(h1,dots,hk) =sumi=1^k Bl(x1,dots,xi-1,,hi,,xi+1,dots,xkr)

Resposta

Para o caso bilinear,
B'(x,y)cdot(h,k)=B(h,y)+B(x,k)
Para o caso k-linear,
B'(x1,dots,xk)cdot(h1,dots,hk) =sumi=1^k Bl(x1,dots,xi-1,,hi,,xi+1,dots,xkr)

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