Determine lim (x, y) (2,0) f(x, y), caso exista, ou mostre que o limite não existe, em que
f(x, y)=(x-2)^3 y(x-2)^4+y^4

Passo 1

Estamos buscando o limite bidimensional de f(x,y)=(x-2)^3y(x-2)^4+y^4 quando (x,y)to(2,0). O tema é limite de função de duas variáveis e para existir esse limite, ele deve ser o mesmo ao longo de qualquer caminho que leve a (2,0).

Passo 2

Para testar se o valor do limite depende do caminho, fazemos a mudança de variável u=x-2 e parametricamente escolhemos um caminho retilíneo y=k(x-2), ou seja y=ku, com k constante.

Passo 3

Substituindo u e y=ku em f, temos:
f(x,y)=u^3,(ku)u^4+(ku)^4 =k,u^4u^4+k^4u^4 =k1+k^4

Passo 4

O valor obtido, tfrack1+k^4, depende do parâmetro k. Por exemplo, para k=0 o limite ao longo de y=0 é 0, enquanto para k=1 o limite ao longo de y=x-2 é 1/2. Como há resultados diferentes, conclui-se que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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