Considere a função real de duas variáveis reais f dada por
f(x, y)=raiz4-x^2-y^2
(e) Determine todas as derivadas parciais de primeira ordem da função f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} $. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem dessa função. Isso significa que vamos derivar $ f $ em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $, tratando uma variável de cada vez como se fosse constante. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que a gente chama de $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Para derivar, a gente pode usar a regra da cadeia. Vamos reescrever a função para facilitar:
f
A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
partial fpartial x
Aqui, a derivada de $ (4 - x^{2} - y^{2}) $ em relação a $ x $ é $ -2x $.

Passo 4

Simplificando a expressão:
partial fpartial x = -2x2raiz4 - x^2 - y^2 = -xraiz4 - x^2 - y^2
Então, chegamos à derivada parcial em relação a $ x $.

Passo 5

Agora, vamos fazer a mesma coisa para a derivada parcial em relação a $ y $, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. A abordagem é idêntica:
y
A derivada de $ (4 - x^{2} - y^{2}) $ em relação a $ y $ é $ -2y $.

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função $ f $ são:
f
e
partial fpartial x = -xraiz4 - x^2 - y^2

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