Considere a função real de duas variáveis reais
dada por
(e) Determine todas as derivadas parciais de primeira ordem da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} $. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem dessa função. Isso significa que vamos derivar $ f $ em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $, tratando uma variável de cada vez como se fosse constante. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que a gente chama de $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Para derivar, a gente pode usar a regra da cadeia. Vamos reescrever a função para facilitar:
A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
Aqui, a derivada de $ (4 - x^{2} - y^{2}) $ em relação a $ x $ é $ -2x $.
Passo 4
Simplificando a expressão:
Então, chegamos à derivada parcial em relação a $ x $.
Passo 5
Agora, vamos fazer a mesma coisa para a derivada parcial em relação a $ y $, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. A abordagem é idêntica:
A derivada de $ (4 - x^{2} - y^{2}) $ em relação a $ y $ é $ -2y $.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ f $ são:
e