Exercício 10.1. Considere a seguinte equação diferencial
(b) Encontre a solução geral da EDO não homogênea utilizando o método da variação dos parâmetros.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a seguinte equação diferencial:
Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa EDO não homogênea usando o método da variação dos parâmetros. Isso envolve encontrar a solução da parte homogênea e depois uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é aquela sem o termo não homogêneo (no caso, sem o ):
Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos supor que a solução tem a forma , onde é um número que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo na equação homogênea, derivamos:
Substituindo de volta na equação:
Dividindo por (que nunca é zero):
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
onde , , e . Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas raízes:
Passo 5
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
onde e são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Vamos usar o método da variação dos parâmetros. Primeiro, precisamos das soluções da equação homogênea, que já temos: e .
Passo 7
O método da variação dos parâmetros nos diz que a solução particular pode ser escrita como:
onde e são funções que vamos determinar.
Passo 8
Para encontrar e , usamos as seguintes fórmulas:
onde é o termo não homogêneo (neste caso, ) e é o Wronskiano das soluções e .
Passo 9
Vamos calcular o Wronskiano :
Calculando as derivadas:
W = e^12 x cdot (-2 e^-2 x) - e^-2 x cdot 12 e^12 x = -2 e^-32 x - 12 e^-32 x = -52 e^-32 x
Então,
Passo 10
Agora, substituindo na expressão das derivadas de u1' = -y2 cdot cos xW = -e^-2 x cdot cos x-52 e^-32 x = 25 e^12 x cos x e u2' = y1 cdot cos xW = e^12 x cdot cos x-52 e^-32 x = -25 e^2 x cos x :
Passo 11
Integrando u1 = 25 integral e^12 x cos x , dx e u2 = -25 integral e^2 x cos x , dx para encontrar e :
Essas integrais podem ser resolvidas usando integração por partes ou fórmulas de integrais padrão.
Passo 12
Após resolver as integrais, obtemos:
u1 = 25 ( e^12 x(12)^2 + 1 ( 12 cos x + sin x ) ) = 25 ( e^12 x54 ( 12 cos x + sin x ) ) = 825 e^12 x ( 12 cos x + sin x )
u2 = -25 ( e^2 x2^2 + 1 ( 2 cos x - sin x ) ) = -25 ( e^2 x5 ( 2 cos x - sin x ) ) = -425 e^2 x ( 2 cos x - sin x )
Passo 13
Agora, substituindo yp = u1 y1 + u2 y2 = 825 e^12 x ( 12 cos x + sin x ) e^12 x + ( -425 e^2 x ( 2 cos x - sin x ) ) e^-2 x e yp = 825 e^x ( 12 cos x + sin x ) - 425 ( 2 cos x - sin x ) na expressão de :
Simplificando:
Resposta
Então, juntando tudo, a solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^12 x + C2 e^-2 x + 825 e^x ( 12 cos x + sin x ) - 425 ( 2 cos x - sin x )