Exercício 10.1. Considere a seguinte equação diferencial
2 y^prime prime+3 y^prime-2 y=cos x, x>0
(b) Encontre a solução geral da EDO não homogênea utilizando o método da variação dos parâmetros.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a seguinte equação diferencial:
2 y'' + 3 y' - 2 y = cos x, x > 0
Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa EDO não homogênea usando o método da variação dos parâmetros. Isso envolve encontrar a solução da parte homogênea e depois uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é aquela sem o termo não homogêneo (no caso, sem o 2 y'' + 3 y' - 2 y = 0 ):
Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos supor que a solução tem a forma , onde é um número que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo y' = r e^r x, y'' = r^2 e^r x na equação homogênea, derivamos:
2 r^2 e^r x + 3 r e^r x - 2 e^r x = 0
Substituindo de volta na equação:
2 r^2 + 3 r - 2 = 0
Dividindo por (que nunca é zero):

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
2 r^2 + 3 r - 2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a
onde De, r = -3 pm raiz254 = -3 pm 54 , e r1 = -3 + 54 = 24 = 12 . Calculando o discriminante:
r2 = -3 - 54 = -84 = -2
Então,
Isso nos dá duas raízes:

Passo 5

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
yh = C1 e^12 x + C2 e^-2 x
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular 2 y'' + 3 y' - 2 y = cos x para a equação completa:
Vamos usar o método da variação dos parâmetros. Primeiro, precisamos das soluções da equação homogênea, que já temos: e .

Passo 7

O método da variação dos parâmetros nos diz que a solução particular pode ser escrita como:
yp = u1 y1 + u2 y2
onde e são funções que vamos determinar.

Passo 8

Para encontrar u1' = -y2 cdot g(x)W e u2' = y1 cdot g(x)W , usamos as seguintes fórmulas:
onde é o termo não homogêneo (neste caso, ) e é o Wronskiano das soluções e .

Passo 9

Vamos calcular o Wronskiano W = y1 & y2 y1' & y2' = y1 y2' - y2 y1' :
y1' = 12 e^12 x, y2' = -2 e^-2 x
Calculando as derivadas:
W = e^12 x cdot (-2 e^-2 x) - e^-2 x cdot 12 e^12 x = -2 e^-32 x - 12 e^-32 x = -52 e^-32 x
Então,

Passo 10

Agora, substituindo na expressão das derivadas de u1' = -y2 cdot cos xW = -e^-2 x cdot cos x-52 e^-32 x = 25 e^12 x cos x e u2' = y1 cdot cos xW = e^12 x cdot cos x-52 e^-32 x = -25 e^2 x cos x :

Passo 11

Integrando u1 = 25 integral e^12 x cos x , dx e u2 = -25 integral e^2 x cos x , dx para encontrar e :
Essas integrais podem ser resolvidas usando integração por partes ou fórmulas de integrais padrão.

Passo 12

Após resolver as integrais, obtemos:
u1 = 25 ( e^12 x(12)^2 + 1 ( 12 cos x + sin x ) ) = 25 ( e^12 x54 ( 12 cos x + sin x ) ) = 825 e^12 x ( 12 cos x + sin x )
u2 = -25 ( e^2 x2^2 + 1 ( 2 cos x - sin x ) ) = -25 ( e^2 x5 ( 2 cos x - sin x ) ) = -425 e^2 x ( 2 cos x - sin x )

Passo 13

Agora, substituindo yp = u1 y1 + u2 y2 = 825 e^12 x ( 12 cos x + sin x ) e^12 x + ( -425 e^2 x ( 2 cos x - sin x ) ) e^-2 x e yp = 825 e^x ( 12 cos x + sin x ) - 425 ( 2 cos x - sin x ) na expressão de :
Simplificando:

Resposta

Então, juntando tudo, a solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^12 x + C2 e^-2 x + 825 e^x ( 12 cos x + sin x ) - 425 ( 2 cos x - sin x )

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