Determine :
lim t -infty pi t(1-t^2)-2 t^3e t^3+3 t

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limtto -inftypi tl(1 - t^2r) - 2t^3e,t^3 + 3t
Isso é um limite de quociente de polinômios em t de grau 3 no numerador e no denominador. Para resolver, vamos usar a estratégia de comparar os termos de maior grau.

Passo 2

Observe que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 3 em t. O termo de maior grau no numerador é
-pi,t^3 ;-;2,t^3 ;=; -(pi+2),t^3,
e no denominador é
e,t^3
Em limites no infinito, só importam esses termos dominantes.

Passo 3

Para evidenciar isso, dividimos numerador e denominador por t^3:
pi t(1 - t^2) - 2t^3e,t^3 + 3t =-,(pi+2),t^3+pi,te,t^3+3t =t^3l[-(pi+2)+pi/t^2r]t^3l[e+3/t^2r] =-(pi+2)+pi/t^2e+3/t^2

Passo 4

Agora fazemos tto -infty. Note que 1/t^2to0 tanto por tto+infty quanto por tto -infty. Logo
limtto -infty-(pi+2)+pi/t^2e+3/t^2 =-(pi+2)+0e+0 =-pi+2e

Resposta

-pi+2e

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