Sejam a in R, f(x)=a+arctg(2 x+pi).
(a) Determine o domínio e a imagem de f.
(b) Determine f^-1(x), o domínio de f^-1 e a imagem de f^-1.
(a) (0,5)
O domínio de f é todo o conjunto R.
Para todo x in R
-pi / 2 & <arctg(2 x+pi)<pi / 2 a-pi / 2 & <underbracea+arctg(2 x+pi)f(x)<a+pi / 2
portanto, a imagem de f é o intervalo (a-pi / 2, a+pi / 2).
(b) (1,0)
Temos
y & =a+arctg(2 x+pi) y-a & =arctg(2 x+pi) tg(y-a) & =2 x+pi tg(y-a)-pi & =2 x tg(y-a)-pi2 & =x
Donde f^-1(x)=tg(x-a)-pi2.
(0,5)
O domínio de f^-1 é a imagem de f, ou seja, (a-pi / 2, a+pi / 2). (0,5)
A imagem de f^-1 é o domínio de f, ou seja, R.
(0,5)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=a+arctg(2x+pi),
onde ainR. Precisamos usar conhecimento sobre a função arctg (ou arctan): seu domínio é R e sua imagem é l(-tfracpi2,tfracpi2r). Com isso, encontraremos (a) domínio e imagem de f e (b) a inversa f^-1, mais seu domínio e imagem.

Passo 2

Determinar o domínio de f.
A expressão interna é 2x+pi, que está em R para todo xinR, e arctg aceita qualquer real. Logo,
D(f)=R

Passo 3

Determinar a imagem de f.
Sabemos que
arctg(2x+pi)inl(-tfracpi2,tfracpi2r) forall xinR
Somando a em cada valor, obtemos
f(x)=a+arctg(2x+pi)inl(a-tfracpi2,,a+tfracpi2r)
Portanto,
Im(f)=l(a-tfracpi2,,a+tfracpi2r)

Passo 4

Encontrar a inversa f^-1.
Seja y=f(x). Então
y = a + arctg(2x+pi) Longrightarrow y - a = arctg(2x+pi)
Aplicando a tangente de ambos os lados:
tanl(y - ar) = 2x + pi Longrightarrow 2x = tanl(y - ar) - pi Longrightarrow x = tan(y - a) - pi2
Logo, a inversa é
f^-1(y)=tan(y - a)-pi2

Passo 5

Determinar o domínio de f^-1.
Por definição, o domínio de f^-1 é a imagem de f, ou seja,
Dl(f^-1r) =l(a-tfracpi2,,a+tfracpi2r)

Passo 6

Determinar a imagem de f^-1.
A imagem de f^-1 coincide com o domínio de f, que já achamos ser R. Portanto,
Iml(f^-1r)=R

Resposta

(a) D(f)=R, Im(f)=l(a-tfracpi2,,a+tfracpi2r).
(b) f^-1(x)=dfractan(x - a)-pi2,
;D(f^-1)=l(a-tfracpi2,,a+tfracpi2r),
;Im(f^-1)=R.

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