Determine :
lim x a x(x-a)+(x-a)2 x^2-2(3+a) x+6 a, a neq 3

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto ax(x-a)+(x-a)2x^2-2(3+a)x+6a,
com aneq3.
O conteúdo é cálculo de limite de função racional que dá forma indeterminada 0/0, e vamos usar fatoração de polinômios para simplificar.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=a:
o numerador fica
a(a-a)+(a-a)=0,
e o denominador fica
2a^2-2(3+a)a+6a=2a^2-2a(3+a)+6a=0
Logo é 0/0 e precisamos fatorar.

Passo 3

Fatoramos o numerador agrupando em comum (x-a):
x(x-a)+(x-a)=(x-a)(x+1)

Passo 4

Fatoramos o denominador em duas etapas. Primeiro extraímos o fator 2:
2x^2-2(3+a)x+6a=2l(x^2-(3+a)x+3ar)
Em seguida, notamos que x=a é raiz de x^2-(3+a)x+3a, de modo que
x^2-(3+a)x+3a=(x-a)(x-3)
Portanto
2x^2-2(3+a)x+6a=2(x-a)(x-3)

Passo 5

Substituindo as fatorações na fração original temos, para xneq a,
(x-a)(x+1)2(x-a)(x-3) =x+12(x-3)
Assim
limxto ax(x-a)+(x-a)2x^2-2(3+a)x+6a =a+12(a-3)

Resposta

a+12(a-3)

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