Determine lim n infty an+1an, e use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
sumn=1^infty 3^nn^2+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o limite de an+1an quando n tende ao infinito e, com isso, usar o Teste da Razão para descobrir se a série sumn=1^infty 3^nn^2+4 converge ou diverge. Para isso, vamos revisar o que é o Teste da Razão e como aplicá-lo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular an+1an. Aqui, an = 3^nn^2 + 4, então:
an+1an = 3^n+1(n+1)^2 + 4 times n^2 + 43^n = 3 times n^2 + 4(n+1)^2 + 4

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando n vai para o infinito:
limn to infty 3 times n^2 + 4(n+1)^2 + 4
Para facilitar, vamos analisar separadamente o que acontece com n^2 + 4(n+1)^2 + 4 à medida que n cresce. Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por n^2:
n^2 + 4(n+1)^2 + 4 = 1 + 4n^21 + 2n + 5n^2
Quando n tende ao infinito, os termos que envolvem 1n ou 1n^2 vão para zero. Então, o limite fica:
limn to infty 1 + 01 + 0 + 0 = 1

Passo 4

Voltando ao limite original:
limn to infty 3 times n^2 + 4(n+1)^2 + 4 = 3 times 1 = 3

Passo 5

Agora aplicamos o Teste da Razão, que nos diz:
  • Se o limite L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, L = 3, que é maior que 1.

Resposta

Pela aplicação do Teste da Razão, o limite é 3 > 1, portanto, a série sumn=1^infty 3^nn^2+4 diverge.

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