Determine
, e use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o limite de
quando
tende ao infinito e, com isso, usar o Teste da Razão para descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos revisar o que é o Teste da Razão e como aplicá-lo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Aqui,
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando
vai para o infinito:
Para facilitar, vamos analisar separadamente o que acontece com
à medida que
cresce. Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por
:
Quando
tende ao infinito, os termos que envolvem
ou
vão para zero. Então, o limite fica:
Passo 4
Voltando ao limite original:
Passo 5
Agora aplicamos o Teste da Razão, que nos diz:
- Se o limite
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
, que é maior que 1.
Resposta
Pela aplicação do Teste da Razão, o limite é
, portanto, a série
diverge.