Determine lim n infty an+1an, e use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
sumn=1^infty 5^nn(3^n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o limite e usar o teste da razão pra ver se a série converge, diverge ou se o teste não dá uma resposta clara. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre limites e o teste da razão, que ajuda a determinar o comportamento de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar , que é o termo geral da série. No caso, . Nosso objetivo é calcular o limite .

Passo 3

Vamos expressar an+1 = 5^n+1(n+1)(3^(n+1)+1) = 5^n+1(n+1)3^n+2 :

Passo 4

Agora, vamos montar a razão an+1an = 5^n+1(n+1)3^n+25^nn3^n+1 = 5^n+1 cdot n cdot 3^n+15^n cdot (n+1) cdot 3^n+2 :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
5^n+15^n = 5 e 3^n+13^n+2 = 13
Então,
an+1an = 5 cdot nn+1 cdot 13 = 53 cdot nn+1

Passo 6

Agora, calculamos o limite quando limn to infty 53 cdot nn+1 = 53 cdot limn to infty nn+1 = 53 cdot 1 = 53 tende ao infinito:

Passo 7

Com o limite calculado, aplicamos o teste da razão:
  • Se o limite , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Aqui, , então a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da razão.

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