Determine
, e use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o limite
e usar o teste da razão pra ver se a série
converge, diverge ou se o teste não dá uma resposta clara. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre limites e o teste da razão, que ajuda a determinar o comportamento de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
, que é o termo geral da série. No caso,
. Nosso objetivo é calcular o limite
.
Passo 3
Vamos expressar
:
Passo 4
Agora, vamos montar a razão
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Então,
Passo 6
Agora, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
Passo 7
Com o limite calculado, aplicamos o teste da razão:
- Se o limite
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aqui,
, então a série diverge.
Resposta
A série
diverge pelo teste da razão.