Determine lim n infty an+1an, e use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
sumn=1^infty 3 n+12^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o limite de an+1an quando n tende ao infinito e, com isso, usar o teste da razão para ver se a série sumn=1^infty 3n + 12^n converge ou diverge. Para resolver isso, precisamos entender o que é o teste da razão e como calcular limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar an e an+1 na série dada:
  • an = 3n + 12^n
  • an+1 = 3(n+1) + 12^n+1 = 3n + 42^n+1
Agora, vamos calcular a razão an+1an:
an+1an = 3n + 42^n+13n + 12^n = 3n + 42^n+1 times 2^n3n + 1 = 3n + 42(3n + 1)

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando n tende ao infinito:
limn to infty 3n + 42(3n + 1) = limn to infty 3 + 4n2(3 + 1n) = 3 + 02(3 + 0) = 36 = 12

Resposta

O limite limn to infty an+1an = 12. Como 12 < 1, pelo teste da razão, a série sumn=1^infty 3n + 12^n converge.

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