Determine lim n infty an+1an, e use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
sumn=1^infty 100^nn!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite de quando vai para o infinito e, com isso, usar o teste da razão para ver se a série converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e o teste da razão para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que nesse caso é . Para aplicar o teste da razão, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de infinito.

Passo 3

Vamos montar a fração an+1an = 100^n+1(n+1)!100^nn! :
Agora, simplificamos essa expressão. Lembre-se que .

Passo 4

Simplificando a fração:
100^n+1(n+1)! div 100^nn! = 100^n+1(n+1) times n! times n!100^n = 100 times 100^n(n+1) times 100^n = 100n+1

Passo 5

Então, temos que:
an+1an = 100n+1
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando tende ao infinito.

Passo 6

Calculando o limite:
limn to infty 100n+1 = 0
O limite é 0.

Passo 7

No teste da razão, se o limite for menor que 1, a série converge absolutamente. Se for maior que 1, a série diverge. Se for igual a 1, o teste é inconclusivo. Aqui, , então a série converge.

Resposta

A série converge pelo teste da razão.

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