Determine
, e use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite de
quando
vai para o infinito e, com isso, usar o teste da razão para ver se a série
converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e o teste da razão para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que nesse caso é
. Para aplicar o teste da razão, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de infinito.
Passo 3
Vamos montar a fração
:
Agora, simplificamos essa expressão. Lembre-se que
.
Passo 4
Simplificando a fração:
Passo 5
Então, temos que:
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando
tende ao infinito.
Passo 6
Calculando o limite:
O limite é 0.
Passo 7
No teste da razão, se o limite
for menor que 1, a série converge absolutamente. Se for maior que 1, a série diverge. Se for igual a 1, o teste é inconclusivo. Aqui,
, então a série converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da razão.