Determine lim n infty an+1an, e use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
sumn=1^infty 2^n-15^n(n+1)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o limite de an+1an quando n tende ao infinito e usar o Teste da Razão para decidir se a série sumn=1^infty 2^n-15^n(n+1) converge ou diverge. Para isso, vamos precisar calcular o limite mencionado e entender como o Teste da Razão funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão de an+1an. Sabemos que:
an = 2^n-15^n(n+1)
Então,
an+1 = 2^(n+1)-15^n+1(n+2) = 2^n5^n+1(n+2)
Agora, calculamos o quociente:
an+1an = 2^n5^n+1(n+2)2^n-15^n(n+1) = 2^n5^n+1(n+2) times 5^n(n+1)2^n-1 = 2 times (n+1)5 times (n+2)

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty 2(n+1)5(n+2) = 25 times limn to infty n+1n+2 = 25 times 1 = 25

Passo 4

Segundo o Teste da Razão, se o limite L = limn to infty an+1an for:
  • Menor que 1 ( L < 1): a série converge.
  • Maior que 1 ( L > 1): a série diverge.
  • Igual a 1 ( L = 1): o teste é inconclusivo.
No nosso caso, L = 25 < 1, então a série converge.

Resposta

O limite é 25 e, pelo Teste da Razão, a série converge.

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