Determine lim n infty an+1an, e use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
sumn=1^infty 3 nraizn^3+1

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui! A gente precisa calcular o limite da sequência . Depois disso, vamos usar o Teste da Razão para ver se a série converge, diverge ou se o teste não nos dá uma conclusão. Pra isso, vamos precisar entender como funciona o Teste da Razão e aplicar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar an+1 = 3(n+1)raiz(n+1)^3+1 . Substituindo por na expressão de , temos:

Passo 3

Agora, vamos montar a razão an+1an = 3(n+1)raiz(n+1)^3+13nraizn^3+1 = n+1n cdot raizn^3+1raiz(n+1)^3+1 :

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, raizn^3+1raiz(n+1)^3+1 approx raizn^3raiz(n+1)^3 = n^3/2(n+1)^3/2 = (nn+1)^3/2 . Quando cresce muito, fica muito pequeno, então essa parte tende a 1.
Agora, vamos analisar . Quando é grande, e . Então:

Passo 5

Vamos calcular o limite dessa última expressão:
limn to infty (nn+1)^3/2 = limn to infty (11 + 1n)^3/2 = 1^3/2 = 1

Passo 6

Juntando tudo, temos:
limn to infty an+1an = limn to infty (1 + 1n) cdot 1 = 1 cdot 1 = 1

Passo 7

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que:
  • Se o limite , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, o limite .

Resposta

Como o limite , o Teste da Razão é inconclusivo. Isso significa que não podemos determinar a convergência ou divergência da série apenas com esse teste.

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