Determine
, e use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui! A gente precisa calcular o limite
da sequência
. Depois disso, vamos usar o Teste da Razão para ver se a série
converge, diverge ou se o teste não nos dá uma conclusão. Pra isso, vamos precisar entender como funciona o Teste da Razão e aplicar algumas propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Substituindo
por
na expressão de
, temos:
Passo 3
Agora, vamos montar a razão
:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro,
. Quando
cresce muito,
fica muito pequeno, então essa parte tende a 1.
Agora, vamos analisar
. Quando
é grande,
e
. Então:
Passo 5
Vamos calcular o limite dessa última expressão:
Passo 6
Juntando tudo, temos:
Passo 7
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que:
- Se o limite
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, o limite
.
Resposta
Como o limite
, o Teste da Razão é inconclusivo. Isso significa que não podemos determinar a convergência ou divergência da série
apenas com esse teste.