Determine lim n infty an+1an, e use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
sumn=1^infty n+3n^2+2 n+5

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular o limite de an+1an quando n vai para o infinito e depois usar o Teste da Razão pra ver se a série sumn=1^infty n+3n^2+2 n+5 converge ou diverge. Pra isso, a gente vai precisar entender como aplicar o Teste da Razão e calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a expressão de an+1. Se an = n+3n^2+2n+5, então an+1 = (n+1)+3(n+1)^2+2(n+1)+5 = n+4n^2+4n+8.

Passo 3

Agora, vamos calcular a razão an+1an:
an+1an = n+4n^2+4n+8n+3n^2+2n+5 = n+4n^2+4n+8 cdot n^2+2n+5n+3

Passo 4

Simplificando essa expressão:
an+1an = (n+4)(n^2+2n+5)(n+3)(n^2+4n+8)
Agora, pra achar o limite quando n vai para o infinito, vamos analisar os termos de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 5

No numerador, o termo de maior grau é n cdot n^2 = n^3. No denominador, também temos n cdot n^2 = n^3. Então, o limite será a razão dos coeficientes desses termos:
limn to infty an+1an = 11 = 1

Passo 6

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que se limn to infty an+1an = L:
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.

Resposta

Como o limite L = 1, o Teste da Razão é indecidido (inconclusivo) para determinar a convergência ou divergência da série.

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