Determine lim n infty an+1an, e use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
sumn=1^infty n^10+10n!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o limite de quando vai para o infinito e, com isso, aplicar o Teste da Razão para ver se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar calcular esse limite e entender como o Teste da Razão funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é an+1 = (n+1)^10 + 10(n+1)! . Agora, vamos encontrar , que é o próximo termo da série:

Passo 3

Agora, vamos formar a razão an+1an = (n+1)^10 + 10(n+1)!n^10 + 10n! = (n+1)^10 + 10(n+1)(n^10 + 10) :
an+1an = (n+1)^10 + 10(n+1)(n^10 + 10)
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite disso quando limn to infty (n+1)^10(n+1) cdot n^10 = limn to infty (n+1)^10(n+1) cdot n^10 = limn to infty (n+1)^9n^10 tende ao infinito. Observando o comportamento dos termos, sabemos que para grandes valores de = limn to infty 1n (1 + 1n)^9 = 0 , domina sobre 10 e domina sobre 10. Então, podemos simplificar:
Dividindo cada potência de :
Porque tende a 0 quando vai para o infinito.

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, se :
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, , então a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Razão.

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