Determine
, e use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o limite de
quando
vai para o infinito e, com isso, aplicar o Teste da Razão para ver se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos precisar calcular esse limite e entender como o Teste da Razão funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é
. Agora, vamos encontrar
, que é o próximo termo da série:
Passo 3
Agora, vamos formar a razão
:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite disso quando
tende ao infinito. Observando o comportamento dos termos, sabemos que para grandes valores de
,
domina sobre 10 e
domina sobre 10. Então, podemos simplificar:
Dividindo cada potência de
:
Porque
tende a 0 quando
vai para o infinito.
Passo 5
Segundo o Teste da Razão, se
:
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
, então a série converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Razão.