Determine lim n infty an+1an, e use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
sumn=1^infty n!e^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o limite lim n infty an+1an e usar o teste da razão para verificar se a série sumn=1^infty n!e^n converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender o que é o teste da razão e como aplicá-lo em séries que envolvem fatoriais e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite lim n infty an+1an. Aqui, an = n!e^n, então:
an+1an = (n+1)!e^n+1 cdot e^nn!

Passo 3

Simplificando a expressão:
an+1an = (n+1) cdot n!e cdot e^n cdot e^nn! = n+1e

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite conforme n tende ao infinito:
limn to infty n+1e = infty

Passo 5

Segundo o teste da razão, se o limite limn to infty an+1an = L:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, o limite é infinito, que é maior que 1.

Resposta

A série diverge pelo teste da razão.

Exercícios relacionados