- Determine:
Passo 1
O enunciado pede dois limites unilaterais da função
quando
se aproxima de zero:
- Calcular
. - Calcular
.
As informações que temos são somente a definição da função
e os pontos de aproximação
(pela direita, isto é,
indo para
) e
(pela esquerda, isto é,
indo para
).
Passo 2
Intuição numérica (para ganhar confiança antes da prova): experimente valores de
positivos cada vez menores, por exemplo
,
,
. Para esses valores
ou seja, à medida que
fica mais perto de zero,
cresce sem limite (vai para valores cada vez maiores).
Agora experimente valores negativos cada vez mais próximos de zero, por exemplo
,
,
. Para esses valores
ou seja, à medida que
se aproxima de zero,
fica com valores negativos de grande magnitude (vai para
valores cada vez maiores em módulo).
Isso sugere que o limite pela direita vai para grande valor positivo e o limite pela esquerda vai para grande valor negativo. Vamos provar isso de forma matemática (sem usar calculadora).
Passo 3
Definição prática usada aqui (linguagem de prova): dizer que
tende a
quando
significa:
De modo análogo, dizer que
tende a
quando
pode ser formulado assim:
Vou usar essas formas porque são fáceis de aplicar com desigualdades simples.
Passo 4
Prova formal para a aproximação pela direita (
) — mostro que, dado qualquer
, consigo forçar
.
Seja
qualquer. Tome
(repare que
porque
). Agora, se
então
. Como
, podemos inverter a desigualdade e obter
Logo, para esse
vale que
implica
. Isso é exatamente a condição da definição para dizer que
cresce além de todo
quando
se aproxima de
pela direita.
Passo 5
Prova formal para a aproximação pela esquerda (
) — mostro que, dado qualquer
, consigo forçar
.
Seja
qualquer. Tome
(novamente
). Se
então
, ou seja
. Como
temos
, logo
Mas
, portanto
Assim, para esse
vale que
implica
. Isso é a condição da definição para afirmar que
vai abaixo de todo
quando
se aproxima de
pela esquerda.
Passo 6
Resumo do raciocínio (motivacional): os testes numéricos já davam a intuição e as provas com
mostram formalmente que o comportamento é necessariamente de crescimento sem limite positivo quando
vem da direita e de decrescimento sem limite (tendendo a valores negativos arbitrariamente grandes em módulo) quando
vem da esquerda. Boa! Isso é exatamente o que pediam os limites unilaterais.