1. Determine:
    \lim \mathrm{x} \rightarrow 0^{+}(1 / \mathrm{x})
    \lim \mathrm{x} \rightarrow 0^{-}(1 / \mathrm{x})

Passo 1

O enunciado pede dois limites unilaterais da função f(x)=\dfrac{1}{x} quando x se aproxima de zero:
  • Calcular \lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{1}{x}.
  • Calcular \lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{1}{x}.
As informações que temos são somente a definição da função f(x)=\dfrac{1}{x} e os pontos de aproximação x\to 0^{+} (pela direita, isto é, x>0 indo para 0) e x\to 0^{-} (pela esquerda, isto é, x<0 indo para 0).

Passo 2

Intuição numérica (para ganhar confiança antes da prova): experimente valores de x positivos cada vez menores, por exemplo x=0,1, x=0,01, x=0,001. Para esses valores
\frac{1}{0,1}=10,\qquad \frac{1}{0,01}=100,\qquad \frac{1}{0,001}=1000,
ou seja, à medida que x>0 fica mais perto de zero, \dfrac{1}{x} cresce sem limite (vai para valores cada vez maiores).
Agora experimente valores negativos cada vez mais próximos de zero, por exemplo x=-0,1, x=-0,01, x=-0,001. Para esses valores
\frac{1}{-0,1}=-10,\qquad \frac{1}{-0,01}=-100,\qquad \frac{1}{-0,001}=-1000,
ou seja, à medida que x<0 se aproxima de zero, \dfrac{1}{x} fica com valores negativos de grande magnitude (vai para -valores cada vez maiores em módulo).
Isso sugere que o limite pela direita vai para grande valor positivo e o limite pela esquerda vai para grande valor negativo. Vamos provar isso de forma matemática (sem usar calculadora).

Passo 3

Definição prática usada aqui (linguagem de prova): dizer que \dfrac{1}{x} tende a +\infty quando x\to 0^{+} significa:
\text{para todo }M>0\\ \text{existe }\delta>0\\ \text{tal que, se }0<x<\delta,\\ \text{então }\frac{1}{x}>M.ã
De modo análogo, dizer que \dfrac{1}{x} tende a -\infty quando x\to 0^{-} pode ser formulado assim:
\text{para todo }M>0\\ \text{existe }\delta>0\\ \text{tal que, se }- \delta < x < 0,\\ \text{então }\frac{1}{x}< -M.ã
Vou usar essas formas porque são fáceis de aplicar com desigualdades simples.

Passo 4

Prova formal para a aproximação pela direita ( x\to 0^{+}) — mostro que, dado qualquer M>0, consigo forçar \dfrac{1}{x}>M.
Seja M>0 qualquer. Tome \delta=\dfrac{1}{M} (repare que \delta>0 porque M>0). Agora, se 0<x<\delta então x<\dfrac{1}{M}. Como x>0, podemos inverter a desigualdade e obter
\frac{1}{x}>\frac{1}{\delta}=\frac{1}{1/M}=M.
Logo, para esse \delta vale que 0<x<\delta implica \dfrac{1}{x}>M. Isso é exatamente a condição da definição para dizer que \dfrac{1}{x} cresce além de todo M>0 quando x se aproxima de 0 pela direita.

Passo 5

Prova formal para a aproximação pela esquerda ( x\to 0^{-}) — mostro que, dado qualquer M>0, consigo forçar \dfrac{1}{x}< -M.
Seja M>0 qualquer. Tome \delta=\dfrac{1}{M} (novamente \delta>0). Se -\delta < x < 0 então |x|<\delta, ou seja -x<\delta=\dfrac{1}{M}. Como x<0 temos |x|=-x, logo
\frac{1}{|x|}>\frac{1}{\delta}=M.
Mas \dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{|x|}, portanto
\frac{1}{x}=-\frac{1}{|x|}<-M.
Assim, para esse \delta vale que -\delta<x<0 implica \dfrac{1}{x}< -M. Isso é a condição da definição para afirmar que \dfrac{1}{x} vai abaixo de todo -M quando x se aproxima de 0 pela esquerda.

Passo 6

Resumo do raciocínio (motivacional): os testes numéricos já davam a intuição e as provas com \delta=1/M mostram formalmente que o comportamento é necessariamente de crescimento sem limite positivo quando x vem da direita e de decrescimento sem limite (tendendo a valores negativos arbitrariamente grandes em módulo) quando x vem da esquerda. Boa! Isso é exatamente o que pediam os limites unilaterais.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty

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