Determine lim n infty an+1an, e use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
sumn=1^infty n!(n+1)^5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite da série . Isso faz parte do conteúdo de séries infinitas e do Teste da Razão, que ajuda a determinar se a série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar an+1 = (n+1)!(n+2)^5 na nossa série. Aqui, . Agora, precisamos encontrar , que é substituindo por :

Passo 3

Agora, vamos montar a razão an+1an = (n+1)!(n+2)^5n!(n+1)^5 = (n+1)!(n+2)^5 times (n+1)^5n!:

Passo 4

Simplificando a expressão, sabendo que (n+1) times n!(n+2)^5 times (n+1)^5n! = (n+1)^6(n+2)^5, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limn infty (n+1)^6(n+2)^5 tende ao infinito:
limn infty n^6n^5 = limn infty n = infty
Podemos observar que, para grandes valores de , e . Assim, a expressão simplifica para:

Passo 6

O Teste da Razão diz que se o limite da razão for maior que 1, a série diverge. Se for menor que 1, converge. Se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Aqui, o limite é , então a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Razão.

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