Determine
, e use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite
da série
. Isso faz parte do conteúdo de séries infinitas e do Teste da Razão, que ajuda a determinar se a série converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
na nossa série. Aqui,
. Agora, precisamos encontrar
, que é substituindo
por
:
Passo 3
Agora, vamos montar a razão
:
Passo 4
Simplificando a expressão, sabendo que
, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Podemos observar que, para grandes valores de
,
e
. Assim, a expressão simplifica para:
Passo 6
O Teste da Razão diz que se o limite da razão
for maior que 1, a série diverge. Se for menor que 1, converge. Se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Aqui, o limite é
, então a série diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Teste da Razão.