Fazendo a mudança de variável t=x-1, determine soluções em série de potências em torno de t0=0 para as equações a seguir:
x y^prime prime+y=0
Ao final escreva as soluções obtidas em função de x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação x,y''+y=0 fazendo a mudança de variável t=x-1, ou seja, expandir em série de potências em torno de t0=0. Vamos usar o método de séries de potências para equações diferenciais ordinárias de segunda ordem.

Passo 2

Substituímos x=1+t e note que tfracddx=tfracddt porque dt/dx=1. Assim a equação x,y''+y=0 vira:
(1+t),y''(t)+y(t)=0

Passo 3

Assumimos uma solução na forma de série em torno de t=0:
y(t)=sumn=0^inftyan,t^n
Então
y''(t)=sumn=2^inftyn(n-1)an,t^n-2

Passo 4

Substituindo em (1+t)y''+y=0, obtemos:
(1+t)sumn=2^inftyn(n-1)an,t^n-2+sumn=0^inftyan,t^n=0
Expandindo e reindexando cada soma, chegamos à condição de cancelamento termo a termo.

Passo 5

Igualando o coeficiente de t^0 a zero, vem
2a2+a0=0Longrightarrow a2=-a02
Para n>=1, o coeficiente de t^n dá a recorrência
(n+2)(n+1)an+2+n(n+1)an+1+an=0
ou
an+2=-n(n+1)an+1+an(n+2)(n+1)

Passo 6

Vamos calcular alguns termos iniciais em função de a0 e a1:
  • a2=-tfraca02
  • a3=tfrac-a1-a0cdot(-1/2)6=tfrac-a1+a06
  • (a_4=-\tfrac{2\cdot3,a_3+a_2}{12}=\tfrac{a_1-\tfrac{a_0}{2}}{12}=\tfrac{a_1}{12}-\tfrac{a_0}{24}.

Passo 7

Assim temos duas soluções independentes por escolha dos constantes iniciais:
  1. Para a0=1,,a1=0:
y1(t)=1-tfrac12t^2+tfrac16t^3-tfrac124t^4+cdots
  1. Para a0=0,,a1=1:
y2(t)=t-tfrac16t^3+tfrac112t^4+cdots

Passo 8

Voltando à variável x com t=x-1, as duas séries ficam:
y1(x)=1-tfrac12(x-1)^2+tfrac16(x-1)^3-tfrac124(x-1)^4+cdots,
y2(x)=(x-1)-tfrac16(x-1)^3+tfrac112(x-1)^4+cdots

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1l[1-tfrac12(x-1)^2+tfrac16(x-1)^3-tfrac124(x-1)^4+cdotsr] +,C2l[(x-1)-tfrac16(x-1)^3+tfrac112(x-1)^4+cdotsr]

Exercícios relacionados