Fazendo a mudança de variável
, determine soluções em série de potências em torno de
para as equações a seguir:
Ao final escreva as soluções obtidas em função de
.
Ao final escreva as soluções obtidas em função de
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
fazendo a mudança de variável
, ou seja, expandir em série de potências em torno de
. Vamos usar o método de séries de potências para equações diferenciais ordinárias de segunda ordem.
Passo 2
Substituímos
e note que
porque
. Assim a equação
vira:
Passo 3
Assumimos uma solução na forma de série em torno de
:
Então
Passo 4
Substituindo em
, obtemos:
Expandindo e reindexando cada soma, chegamos à condição de cancelamento termo a termo.
Passo 5
Igualando o coeficiente de
a zero, vem
Para
, o coeficiente de
dá a recorrência
ou
Passo 6
Vamos calcular alguns termos iniciais em função de
e
:
-
-
- (a_4=-\tfrac{2\cdot3,a_3+a_2}{12}=\tfrac{a_1-\tfrac{a_0}{2}}{12}=\tfrac{a_1}{12}-\tfrac{a_0}{24}.
Passo 7
Assim temos duas soluções independentes por escolha dos constantes iniciais:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Voltando à variável
com
, as duas séries ficam:
Resposta
A solução geral é