\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} \pi x}
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função no numerador é
e no denominador é . - Ao levar
para temos e , ou seja, a expressão tem a forma indeterminada . - O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite quando
tende a .
Passo 2
Teorema útil (ferramenta principal): vale
Explicação didática e demonstração rápida desse resultado (squeeze theorem / desigualdades trigonométricas):
- Para
pode-se usar a desigualdade geométrica clássica
- Justificação rápida da desigualdade: olhando um círculo unitário (ou usando as relações entre arco, seno e tangente), obtém-se
. Dividindo por e usando chega-se a . - Como
, pela regra da cadeia de desigualdades (squeeze theorem) segue que
- Para
próximos de negativos, usa-se que é uma função par no limite (o limite lateral é o mesmo), então o resultado vale para em geral.
Observação prática: este limite é uma das identidades fundamentais para limites envolvendo funções seno próximas de zero; vamos usá-la em seguida.
Passo 3
Aplicação direta ao problema. Escrevemos a expressão de forma a usar a identidade
.
Começamos reescrevendo a razão dividindo numerador e denominador por :
Começamos reescrevendo a razão dividindo numerador e denominador por
Agora transforme o denominador para expor o padrão
. Observe que
Substituindo isso na expressão anterior obtemos
Agora tomamos o limite quando
. Pelas identidades já vistas:
Portanto a razão das duas quantidades tende a
, e ficamos com
Passo 4
Verificação alternativa (opção para a prova): usar a Regra de L’Hôpital. Como tanto
quanto
vão a
quando
, temos a forma
. Diferenciando numerador e denominador:
Pela Regra de L’Hôpital
que coincide com o resultado anterior.
Passo 5
Regra geral e dica prática para a prova: para limites do tipo
, a técnica acima dá diretamente
Isto porque
e
quando
. Exemplo rápido:
.
Passo 6
Resumo e ânimo: a resposta é simples e aparece sempre em provas. Lembre-se: a identidade
é a sua melhor amiga nesses problemas — decore-a, saiba justificar com a desigualdade/circle-squeeze ou usar L’Hôpital, e pratique a variação com constantes multiplicativas.