\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} \pi x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} \pi x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função no numerador é \operatorname{sen} x e no denominador é \operatorname{sen} \pi x.
  • Ao levar x para 0 temos \operatorname{sen} 0=0 e \operatorname{sen}(\pi\cdot 0)=0, ou seja, a expressão tem a forma indeterminada \dfrac{0}{0}.
  • O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite quando x tende a 0.

Passo 2

Teorema útil (ferramenta principal): vale
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1.
Explicação didática e demonstração rápida desse resultado (squeeze theorem / desigualdades trigonométricas):
  • Para 0<t<\tfrac{\pi}{2} pode-se usar a desigualdade geométrica clássica
\cos t < \frac{\operatorname{sen} t}{t} < 1.
  • Justificação rápida da desigualdade: olhando um círculo unitário (ou usando as relações entre arco, seno e tangente), obtém-se \operatorname{sen} t < t < \operatorname{tg} t. Dividindo por t e usando \operatorname{tg} t=\dfrac{\operatorname{sen} t}{\cos t} chega-se a \cos t < \dfrac{\operatorname{sen} t}{t} < 1.
  • Como \lim_{t\to 0}\cos t = 1, pela regra da cadeia de desigualdades (squeeze theorem) segue que
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1.
  • Para t próximos de 0 negativos, usa-se que \operatorname{sen} t/t é uma função par no limite (o limite lateral é o mesmo), então o resultado vale para t\to 0 em geral.
Observação prática: este limite é uma das identidades fundamentais para limites envolvendo funções seno próximas de zero; vamos usá-la em seguida.

Passo 3

Aplicação direta ao problema. Escrevemos a expressão de forma a usar a identidade \lim_{t\to 0}\dfrac{\operatorname{sen} t}{t}=1.
Começamos reescrevendo a razão dividindo numerador e denominador por x:
\frac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} \pi x} = \frac{\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}}{\dfrac{\operatorname{sen} \pi x}{x}}.
Agora transforme o denominador para expor o padrão \dfrac{\operatorname{sen} u}{u}. Observe que
\frac{\operatorname{sen} \pi x}{x} = \pi\cdot\frac{\operatorname{sen} \pi x}{\pi x}.
Substituindo isso na expressão anterior obtemos
\frac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} \pi x} = \frac{\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}}{\pi\cdot \dfrac{\operatorname{sen} \pi x}{\pi x}} = \frac{1}{\pi}\cdot \frac{\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}}{\dfrac{\operatorname{sen} \pi x}{\pi x}}.
Agora tomamos o limite quando x\to 0. Pelas identidades já vistas:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} \pi x}{\pi x}=1.
Portanto a razão das duas quantidades tende a 1, e ficamos com
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} \pi x} = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{1} = \frac{1}{\pi}.

Passo 4

Verificação alternativa (opção para a prova): usar a Regra de L’Hôpital. Como tanto \operatorname{sen} x quanto \operatorname{sen} \pi x vão a 0 quando x\to 0, temos a forma 0/0. Diferenciando numerador e denominador:
\frac{d}{dx}(\operatorname{sen} x)=\cos x, \qquad \frac{d}{dx}(\operatorname{sen} \pi x)=\pi\cos(\pi x).
Pela Regra de L’Hôpital
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} \pi x} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{\pi\cos(\pi x)} = \frac{\cos 0}{\pi\cos 0} = \frac{1}{\pi},
que coincide com o resultado anterior.

Passo 5

Regra geral e dica prática para a prova: para limites do tipo \lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(a x)}{\operatorname{sen}(b x)}, a técnica acima dá diretamente
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(a x)}{\operatorname{sen}(b x)}=\frac{a}{b}.
Isto porque \operatorname{sen}(a x)\sim a x e \operatorname{sen}(b x)\sim b x quando x\to 0. Exemplo rápido: \lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(3x)}{\operatorname{sen}(2x)}=\dfrac{3}{2}.

Passo 6

Resumo e ânimo: a resposta é simples e aparece sempre em provas. Lembre-se: a identidade \lim_{t\to 0}\dfrac{\operatorname{sen} t}{t}=1 é a sua melhor amiga nesses problemas — decore-a, saiba justificar com a desigualdade/circle-squeeze ou usar L’Hôpital, e pratique a variação com constantes multiplicativas.

Resposta

\dfrac{1}{\pi}

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