1. A. Determine lim sup e lim inf para as seguintes seqüências limitadas em \boldsymbol{R} :
    (b) \left((-1)^{n} / n\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o \limsup e o \liminf da sequência limitada em \mathbb{R}
a_n = \frac{(-1)^n}{n}.
Informações dadas e perguntas:
  • A sequência é \left(a_n\right)_{n\ge1} com a_n = \dfrac{(-1)^n}{n}.
  • Pergunta 1: calcular \limsup_{n\to\infty} a_n.
  • Pergunta 2: calcular \liminf_{n\to\infty} a_n.

Passo 2

Definições úteis (explicadas de forma simples):
  • Para uma sequência \left(a_n\right), a definição via supremos/ínfimos de caudas é
\limsup_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\Big(\sup_{k\ge n} a_k\Big),
\liminf_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\Big(\inf_{k\ge n} a_k\Big).
Significado intuitivo:
  • \sup_{k\ge n} a_k é o maior valor que a sequência ainda pode atingir a partir do termo n em diante; ao fazermos n\to\infty obtemos o maior limite de acúmulo possível (o limite superior).
  • \inf_{k\ge n} a_k é o menor valor que a sequência ainda pode atingir a partir do termo n em diante; ao fazermos n\to\infty obtemos o menor limite de acúmulo possível (o limite inferior).
    Outra forma prática: \limsup e \liminf são respectivamente o maior e o menor dos limites de subsequências (os pontos de acumulação).

Passo 3

Olhe a sequência por paridade (método prático para essa sequência):
  • Para índices pares escreva n=2m. Então
a_{2m} = \frac{(-1)^{2m}}{2m} = \frac{1}{2m}.
Esses termos são positivos e formam a subsequência \left(\tfrac{1}{2m}\right)_{m\ge1}, que tende para 0 quando m\to\infty.
  • Para índices ímpares escreva n=2m+1. Então
a_{2m+1} = \frac{(-1)^{2m+1}}{2m+1} = -\frac{1}{2m+1}.
Esses termos são negativos e formam a subsequência \left(-\tfrac{1}{2m+1}\right)_{m\ge0}, que também tende para 0 quando m\to\infty.
Portanto todos os limites de subsequências possíveis são 0. Pela caracterização, isso já sugere que tanto \limsup quanto \liminf valem 0. Vou mostrar isso também diretamente pelas definições com supremo e ínfimo de caudas.

Passo 4

Calcule \sup_{k\ge n} a_k\) para cada \(n\). - Note que os termos positivos são exatamente os de índices pares e valem \(1/(2m)\), que diminuem com \(m\). Assim, para a cauda a partir de \(n\) o maior termo positivo é o primeiro termo par que aparece na cauda, isto é: - se \(n\) é par, o primeiro termo par \(\ge n\) é \(n\) e o maior término positivo da cauda é \(1/n\); - se \(n\) é ímpar, o primeiro termo par \(\ge n\) é \(n+1\) e o maior termo positivo da cauda é \(1/(n+1)\). - Os termos negativos são menores que qualquer positivo pequeno, então não influenciam o supremo (o supremo será esse primeiro termo positivo). Logo \[\sup_{k\ge n} a_k = \begin{cases} \dfrac{1}{n}, & \text{se } n \text{ é par},\\[6pt] \dfrac{1}{n+1}, & \text{se } n \text{ é ímpar}. \end{cases}
Ambas as expressões tendem para 0\] quando \(n\to\infty. Assim, tomando o limite,
\lim_{n\to\infty}\Big(\sup_{k\ge n} a_k\Big) = 0,
ou seja \limsup_{n\to\infty} a_n = 0.]

Passo 5

Calcule \inf_{k\ge n} a_k\) para cada \(n\). - Os termos negativos são exatamente os de índices ímpares e valem \(-1/(2m+1)\), que aumentam (isto é, ficam menos negativos) quando \(m\) cresce em valor absoluto, mas o mais negativo na cauda é o primeiro termo ímpar da cauda. - se \(n\) é ímpar, o primeiro termo ímpar \(\ge n\) é \(n\) e o ínfimo da cauda é \(-1/n\); - se \(n\) é par, o primeiro termo ímpar \(\ge n\) é \(n+1\) e o ínfimo da cauda é \(-1/(n+1)\). - Os termos positivos são maiores e não afetam o ínfimo, que é esse primeiro negativo. Logo \[\inf_{k\ge n} a_k = \begin{cases} -\dfrac{1}{n}, & \text{se } n \text{ é ímpar},\\[6pt] -\dfrac{1}{n+1}, & \text{se } n \text{ é par}. \end{cases}
Ambas as expressões tendem para 0\] quando \(n\to\infty. Assim,
\lim_{n\to\infty}\Big(\inf_{k\ge n} a_k\Big) = 0,
ou seja \liminf_{n\to\infty} a_n = 0.]

Passo 6

Interpretação final e incentivo: a sequência oscila entre pequenos positivos e pequenos negativos que vão a zero; assim não sobra nenhum outro ponto de acumulação além de 0. Portanto tanto o maior limite de acumulação quanto o menor valem 0. Tá feito — dá pra anotar isso rapidinho na prova: divida por par/ímpar, mostre que ambas subsequências vão a zero, conclua que limsup = liminf = 0. Força aí que você consegue!

Resposta

\displaystyle \limsup_{n\to\infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0
\displaystyle \liminf_{n\to\infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0

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