- A. Determine lim sup e lim inf para as seguintes seqüências limitadas em
:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para determinar o
e o
da sequência limitada em
Informações dadas e perguntas:
- A sequência é
com . - Pergunta 1: calcular
. - Pergunta 2: calcular
.
Passo 2
Definições úteis (explicadas de forma simples):
- Para uma sequência
, a definição via supremos/ínfimos de caudas é
Significado intuitivo:
-
é o maior valor que a sequência ainda pode atingir a partir do termo em diante; ao fazermos obtemos o maior limite de acúmulo possível (o limite superior). -
é o menor valor que a sequência ainda pode atingir a partir do termo em diante; ao fazermos obtemos o menor limite de acúmulo possível (o limite inferior).
Outra forma prática:e são respectivamente o maior e o menor dos limites de subsequências (os pontos de acumulação).
Passo 3
Olhe a sequência por paridade (método prático para essa sequência):
- Para índices pares escreva
. Então
Esses termos são positivos e formam a subsequência
, que tende para
quando
.
- Para índices ímpares escreva
. Então
Esses termos são negativos e formam a subsequência
, que também tende para
quando
.
Portanto todos os limites de subsequências possíveis são
. Pela caracterização, isso já sugere que tanto
quanto
valem
. Vou mostrar isso também diretamente pelas definições com supremo e ínfimo de caudas.
Passo 4
Calcule
Ambas as expressões tendem para
. Assim, tomando o limite,
ou seja
.]
Passo 5
Calcule
Ambas as expressões tendem para
. Assim,
ou seja
.]
Passo 6
Interpretação final e incentivo: a sequência oscila entre pequenos positivos e pequenos negativos que vão a zero; assim não sobra nenhum outro ponto de acumulação além de
. Portanto tanto o maior limite de acumulação quanto o menor valem
. Tá feito — dá pra anotar isso rapidinho na prova: divida por par/ímpar, mostre que ambas subsequências vão a zero, conclua que limsup = liminf = 0. Força aí que você consegue!