Determine:
lim x infty ln (x^2 ln x)ln x

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinftylnl(x^2ln xr)ln x
O conteúdo aqui é cálculo de limites usando propriedades de logaritmo e, se necessário, a regra de L’Hôpital para comparar crescimentos.

Passo 2

Aplicamos a propriedade do logaritmo de produto e potência:
lnl(x^2ln xr) =lnl(x^2r)+lnl(ln xr) =2,ln x+lnl(ln xr)

Passo 3

Substituímos no quociente e separamos termos:
lnl(x^2ln xr)ln x =2,ln x+ln(ln x)ln x =2+ln(ln x)ln x

Passo 4

Avaliamo a contribuição do segundo termo. Como ln xtoinfty quando xtoinfty, sabe-se que ln(ln x) cresce muito mais devagar. Formalmente, por L’Hôpital:
limxtoinftyln(ln x)ln x =limxtoinftyddxln(ln x)ddxln x =limxtoinfty1x,ln x1x =limxtoinfty1ln x =0
Logo o quociente total tende a
2+0=2

Resposta

2

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