Exercício 14. Neste exercício, vamos obter uma variante das desigualdades obtidas em aula, conhecida como Desigualdade de Hardy. Este material pode ser encontrado na Subseção 5.8.4 da segunda edição do Evans, mas seria interessante você tentar seguir o roteiro antes de fazer a leitura da seção; em seguida, ler a seção e comparar com o que foi feito.
O objetivo é provar o seguinte: se
e
, então
pertence a
e tem-se
Prove (1) seguindo os passos indicados abaixo:
(i) Suponha inicialmente que
é suave. Observe que, pelo Exercício
da Lista Zero, temos
Em seguida, aplique o Teorema da Divergência, Exercício 5(i) da Lista Zero, com
no lugar de
e com
no lugar de
para obter
Argumente por densidade que esta identidade vale para qualquer
.
(ii) Inicialmente, suponha novamente
suave, aplique o Teorema da Divergência para o campo de vetores
e utilize Cauchy-Schwarz para obter
Em seguida, por densidade, justifique que esta última desigualdade vale para qualquer
.
(iii) Juntando as desigualdades obtidas nos itens anteriores, prove (1).