Exercício 4. (Apostol seção 1.10 exercícios 11 a 20) Quais dos subconjuntos dos polinômios de ordem
), isto é, de
, são subespaços vetoriais? Determine a dimensão dos que forem subespaços.
Passo 1
O enunciado fala do espaço dos polinômios de grau
,
e considera o subconjunto
Precisamos verificar se
é subespaço de
e, caso seja, determinar
.
Passo 2
Para ser subespaço,
deve ser fechado sob soma e multiplicação por escalar. Se
então
Para quaisquer
,
logo
. Também
contém o polinômio zero (que satisfaz
). Portanto
é um subespaço.
Passo 3
Definimos o funcional linear
Note que
é não nulo (por exemplo,
). O conjunto
é subespaço de
.
Passo 4
Pela fórmula do posto e nulidade,
pois
e
tem dimensão
.
Resposta
O conjunto
é subespaço de
e sua dimensão é
.