Exercício 4. (Apostol seção 1.10 exercícios 11 a 20) Quais dos subconjuntos dos polinômios de ordem <= n), isto é, de Pn=a0+a1 t+ldots+an t^n, a0, ldots, an in R, são subespaços vetoriais? Determine a dimensão dos que forem subespaços.
f(0)=f(2)

Passo 1

O enunciado fala do espaço dos polinômios de grau <= n,
Pn=,a0+a1t+cdots+ant^nmid aiinR,,
e considera o subconjunto
V=,finPnmid f(0)=f(2)
Precisamos verificar se V é subespaço de Pn e, caso seja, determinar dim V.

Passo 2

Para ser subespaço, V deve ser fechado sob soma e multiplicação por escalar. Se f,gin V então
f(0)=f(2), g(0)=g(2)
Para quaisquer alpha,betainR,
(alpha f+beta g)(0)=alpha f(0)+beta g(0) =alpha f(2)+beta g(2) =(alpha f+beta g)(2),
logo alpha f+beta gin V. Também V contém o polinômio zero (que satisfaz 0=0). Portanto V é um subespaço.

Passo 3

Definimos o funcional linear
phi:PntoR, phi(f)=f(0)-f(2)
Note que phi é não nulo (por exemplo, phi(t)=0-2=-2ne0). O conjunto
V=kerphi
é subespaço de Pn.

Passo 4

Pela fórmula do posto e nulidade,
dim V =dimkerphi =dimPn-dimIm,phi =(n+1)-1 =n,
pois dimPn=n+1 e Im,phisubseteqR tem dimensão 1.

Resposta

O conjunto ,finPnmid f(0)=f(2) é subespaço de Pn e sua dimensão é n.

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