Determine:
lim x infty e^a xx^2( onde a>0)

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinftye^a xx^2,
onde a>0. O conteúdo é comparar o crescimento da função exponencial e^ax com o de um polinômio de grau 2. Para resolver, vamos usar o Teorema de L’Hôpital, pois temos uma forma indeterminada tfracinftyinfty.

Passo 2

Aplicamos a regra de L’Hôpital pela primeira vez, diferenciando numerador e denominador em relação a x. Temos
ddxl(e^a xr)=a e^a x, ddxl(x^2r)=2x
Portanto,
limxtoinftye^a xx^2 =limxtoinftya e^a x2x

Passo 3

A nova forma ainda é tfracinftyinfty, então aplicamos L’Hôpital de novo. Derivando,
ddxl(a e^a xr)=a^2e^a x, ddxl(2xr)=2
Logo,
limxtoinftya e^a x2x =limxtoinftya^2e^a x2

Passo 4

Agora a^2e^a x2 cresce como e^a x quando xtoinfty, e como a^2/2 é constante positiva, o limite é infinito:
limxtoinftya^2e^a x2=+infty

Resposta

limxtoinftye^a xx^2=+infty

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