Determine a para que lim x longrightarrow 2 1-cos (x-2)(x-a)^2 exista. Calcule o limite.

Passo 1

O enunciado pede o valor de a para que o limite limxto21-cos(x-2)(x-a)^2 exista e, em seguida, calcular esse limite. O conteúdo principal aqui envolve limites do tipo 0/0 e uso da expansão de Taylor (ou limite notável) para 1-cos h.

Passo 2

Fazendo a troca h = x-2, quando xto2 temos hto0. O numerador fica 1-cos h e o denominador é (h + (2-a))^2, isto é,
1-cos(x-2)(x-a)^2 = 1-cos hl(h + (2-a)r)^2,

Passo 3

Analisamos dois casos para a:
  • Se aneq2, então 2-aneq0 e, ao fazer hto0, o denominador tende a (2-a)^2neq0. Assim o limite vale
limhto01-cos h(2-a)^2 = 0(2-a)^2 = 0
- Se a=2, então o denominador é h^2 e o quociente fica do tipo 0/0. Para resolver usamos o limite notável
1-cos h sim h^22(hto0)

Passo 4

Logo, quando a=2 o limite é
limhto01-cos hh^2 = limhto0h^2/2 + o(h^2)h^2 = 12

Resposta

O limite existe para todo ainR. Se aneq2, vale 0; se a=2, vale tfrac12.

Exercícios relacionados