I. Encontre a equação geral do plano que passa pelos pontos
A(1,2,3), B(4,-3,1) e C(1,0,2)

Passo 1

Temos os pontos A(1,2,3), B(4,-3,1) e C(1,0,2). O objetivo é achar a equação geral do plano ax+by+cz+d=0 que passa por esses três pontos. Para isso, vamos precisar de um vetor normal ao plano, encontrado pelo produto vetorial de dois vetores diretores.

Passo 2

Calculamos os vetores diretores AB e AC:
AB = B - A = (4-1,,-3-2,,1-3) = (3,-5,-2),
AC = C - A = (1-1,,0-2,,2-3) = (0,-2,-1)

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado por AB times AC. Calculando o determinante:
n = i & j & k 3 & -5 & -2 0 & -2 & -1 = ( (-5)(-1)-(-2)(-2),,-(3(-1)-(-2)cdot0),,3(-2)-(-5)cdot0 ) = (1,3,-6)

Passo 4

Usamos a forma ponto-normal do plano: ncdot( (x,y,z)-A ) = 0. Substituindo n=(1,3,-6) e A=(1,2,3), temos:
1(x-1) + 3(y-2) -6(z-3) = 0

Passo 5

Expandindo e recolhendo termos, obtemos:
x - 1 + 3y - 6 - 6z + 18 = 0 Longrightarrow x + 3y - 6z + 11 = 0

Resposta

x + 3y - 6z + 11 = 0

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