Determine o limite:
lim x 0 [sen(x4)]^2x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0 [sin(x/4)]^2x^2. O conteúdo da matéria é limites de funções, em particular o limite notável limuto0sin uu=1. Vamos usar isso para resolver.

Passo 2

Reescrevendo a expressão de modo a evidenciar o limite notável, temos:
[sin(x/4)]^2x^2 =l(sin(x/4)x/4r)^2cdot (x/4)^2x^2
Aqui agrupamos o quadrado do quociente para aplicar o limite sin u/u.

Passo 3

Aplicando o limite notável, quando xto0 faz u=x/4to0, vale:
limxto0sin(x/4)x/4=1
e, portanto,
limxto0l(sin(x/4)x/4r)^2=1^2=1

Passo 4

Calculando o fator restante:
(x/4)^2x^2=x^216,x^2=116
Multiplicando as duas partes, obtemos o resultado final do limite.
Juntando tudo, o limite vale 1timestfrac116=tfrac116.

Resposta

\tfrac{1}{16}

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