O que o problema pede: calcular \displaystyle \lim_{x\to-1}\bigl(2x^{2}+x-1\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x+1}\bigr).
Informações dadas:
A função é o produto de dois fatores: f(x)=2x^{2}+x-1 e g(x)=\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x+1}\bigr).
O ponto de interesse é x\to-1.
O objetivo é encontrar o limite do produto quando x se aproxima de -1.
Passo 2
Observar o comportamento de cada fator separadamente.
Calcular o valor de f em x=-1:
f(-1)=2(-1)^{2}+(-1)-1=2-1-1=0.
Como f é um polinômio (função contínua), disso segue que
\lim_{x\to-1}f(x)=0.
Sobre g(x)=\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x+1}\bigr): a função \cos é sempre limitada entre -1 e 1, isto é,
-1\le \cos(t)\le 1\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Portanto, para todos x distintos de -1,
-1\le \cos\!\bigl(\tfrac{1}{x+1}\bigr)\le 1.
Nota: \cos\!\bigl(\tfrac{1}{x+1}\bigr) não tem limite quando x\to-1 porque \tfrac{1}{x+1} explode e faz \cos oscilar; porém está sempre bounded entre -1 e 1.
Passo 3
Usar o Teorema do Aperto (squeeze theorem) ou a ideia simples: produto de algo que tende a 0 por algo limitado tende a 0.
Primeiro escrevemos uma desigualdade útil usando que |\cos|\le1: