Determine,
\lim _{x \rightarrow-1}\left(2 x^{2}+x-1\right) \cos \left(\frac{1}{x+1}\right).

Passo 1

O que o problema pede: calcular \displaystyle \lim_{x\to-1}\bigl(2x^{2}+x-1\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x+1}\bigr).
Informações dadas:
  • A função é o produto de dois fatores: f(x)=2x^{2}+x-1 e g(x)=\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x+1}\bigr).
  • O ponto de interesse é x\to-1.
O objetivo é encontrar o limite do produto quando x se aproxima de -1.

Passo 2

Observar o comportamento de cada fator separadamente.
Calcular o valor de f em x=-1:
f(-1)=2(-1)^{2}+(-1)-1=2-1-1=0.
Como f é um polinômio (função contínua), disso segue que
\lim_{x\to-1}f(x)=0.
Sobre g(x)=\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x+1}\bigr): a função \cos é sempre limitada entre -1 e 1, isto é,
-1\le \cos(t)\le 1\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Portanto, para todos x distintos de -1,
-1\le \cos\!\bigl(\tfrac{1}{x+1}\bigr)\le 1.
Nota: \cos\!\bigl(\tfrac{1}{x+1}\bigr) não tem limite quando x\to-1 porque \tfrac{1}{x+1} explode e faz \cos oscilar; porém está sempre bounded entre -1 e 1.

Passo 3

Usar o Teorema do Aperto (squeeze theorem) ou a ideia simples: produto de algo que tende a 0 por algo limitado tende a 0.
Primeiro escrevemos uma desigualdade útil usando que |\cos|\le1:
\bigl|(2x^{2}+x-1)\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x+1}\bigr)\bigr| \le |2x^{2}+x-1|\cdot\bigl|\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x+1}\bigr)\bigr| \le |2x^{2}+x-1|\cdot 1 =|2x^{2}+x-1|.
Como já vimos, \lim_{x\to-1}|2x^{2}+x-1|=0. Assim, temos uma função cujo valor absoluto é menor ou igual a uma função que tende a 0.

Passo 4

Aplicando o Teorema do Aperto: se -h(x)\le p(x)\le h(x) para todas x próximos de -1 e \lim_{x\to-1}h(x)=0, então \lim_{x\to-1}p(x)=0.
No nosso caso podemos tomar
-h(x)=-|2x^{2}+x-1|,\qquad p(x)=(2x^{2}+x-1)\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x+1}\bigr),
com h(x)=|2x^{2}+x-1| e \lim_{x\to-1}h(x)=0. Logo
\lim_{x\to-1}(2x^{2}+x-1)\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x+1}\bigr)=0.
Alternativa curta e intuitiva (útil na prova): como f(x)=2x^{2}+x-1 tende a 0 e g(x)=\cos(\cdot) é limitada, o produto tende a 0.

Passo 5

Resposta final obtida pelo argumento acima: o limite é 0.

Resposta

0

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