Racionalize o denominador de cada expressão a seguir:
\frac{4}{\sqrt[4]{8^{3}}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedem para racionalizar o denominador da expressão \dfrac{4}{\sqrt[4]{8^{3}}}.
  • Informação dada:
    • Numerador: 4.
    • Denominador: \sqrt[4]{8^{3}}, isto é, a raiz quarta de 8^{3}.
  • Objetivo final: apresentar a mesma quantidade escrita de modo que o denominador seja um número racional (sem raízes).

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar (explicação didática):
  • Racionalizar o denominador significa eliminar qualquer raiz que esteja no denominador, transformando-o em um número racional (inteiro ou fração sem radical).
  • Relação entre raízes e potências que usaremos: \sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}.Aqui cada símbolo significa:
    • a é a base (um número positivo, por exemplo 2),
    • m é o expoente dentro da raiz,
    • n é o índice da raiz.
  • Estratégia prática: escrever a raiz como potência com expoente fracionário, ver o expoente no denominador e multiplicar numerador e denominador por uma potência adequada que torne o expoente do denominador um número inteiro.

Passo 3

Transformar o denominador em potências para ver os expoentes com clareza:
  • Primeiro escrevemos a raiz como potência: \sqrt[4]{8^{3}} = (8^{3})^{1/4} = 8^{3/4}.
  • Como 8 = 2^{3}, podemos reescrever: 8^{3/4} = (2^{3})^{3/4} = 2^{(3\cdot 3/4)} = 2^{9/4}.
  • Portanto a expressão fica \frac{4}{\sqrt[4]{8^{3}}} = \frac{4}{2^{9/4}}.

Passo 4

Escolher o fator para multiplicar (o “truque” da racionalização):
  • Queremos que o expoente no denominador seja inteiro. No denominador temos 2^{9/4}. Precisamos de mais 3/4 para alcançar 9/4 + 3/4 = 12/4 = 3, um expoente inteiro.
  • Logo devemos multiplicar numerador e denominador por 2^{3/4}.
  • Observação prática em termos de raízes: 2^{3/4} = \sqrt[4]{2^{3}} = \sqrt[4]{8}. Então multiplicamos por \sqrt[4]{8}, que é uma forma natural de pensar na prova.

Passo 5

Multiplicar numerador e denominador por \sqrt[4]{8} e calcular:
  • Multiplicando obtemos \frac{4}{\sqrt[4]{8^{3}}}\cdot\frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{8}} = \frac{4\sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{8^{3}}\cdot\sqrt[4]{8}}.
  • No denominador podemos juntar as raízes (mesmo índice): \sqrt[4]{8^{3}}\cdot\sqrt[4]{8}=\sqrt[4]{8^{3}\cdot 8}=\sqrt[4]{8^{4}}.
  • Mas \sqrt[4]{8^{4}}=8, porque elevar à quarta potência e tirar a raiz quarta anula: (\sqrt[4]{8})^{4}=8.
  • Portanto chegamos a \frac{4\sqrt[4]{8}}{8}.

Passo 6

Simplificar a fração e comentários finais:
  • Dividindo numerador e denominador por 4: \frac{4\sqrt[4]{8}}{8}=\frac{1}{2}\sqrt[4]{8}.
  • Podemos também reescrever \sqrt[4]{8} como potência de 2: \sqrt[4]{8}=2^{3/4},então \frac{1}{2}\sqrt[4]{8}=\frac{1}{2}2^{3/4}=2^{-1}2^{3/4}=2^{-1/4}.
  • Ambas as formas são equivalentes; a forma com denominador racional é \dfrac{1}{2}\sqrt[4]{8} (não há radical no denominador), que é a forma convencionalmente pedida ao “racionalizar”.

Resposta

\dfrac{1}{2}\sqrt[4]{8}

Exercícios relacionados