Racionalize o denominador de cada expressão a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pedem para racionalizar o denominador da expressão
. - Informação dada:
- Numerador:
. - Denominador:
, isto é, a raiz quarta de .
- Numerador:
- Objetivo final: apresentar a mesma quantidade escrita de modo que o denominador seja um número racional (sem raízes).
Passo 2
Conceito e ferramenta que vamos usar (explicação didática):
- Racionalizar o denominador significa eliminar qualquer raiz que esteja no denominador, transformando-o em um número racional (inteiro ou fração sem radical).
- Relação entre raízes e potências que usaremos:
Aqui cada símbolo significa: -
é a base (um número positivo, por exemplo ), -
é o expoente dentro da raiz, -
é o índice da raiz.
-
- Estratégia prática: escrever a raiz como potência com expoente fracionário, ver o expoente no denominador e multiplicar numerador e denominador por uma potência adequada que torne o expoente do denominador um número inteiro.
Passo 3
Transformar o denominador em potências para ver os expoentes com clareza:
- Primeiro escrevemos a raiz como potência:
- Como
, podemos reescrever: - Portanto a expressão fica
Passo 4
Escolher o fator para multiplicar (o “truque” da racionalização):
- Queremos que o expoente no denominador seja inteiro. No denominador temos
. Precisamos de mais para alcançar , um expoente inteiro. - Logo devemos multiplicar numerador e denominador por
. - Observação prática em termos de raízes:
. Então multiplicamos por , que é uma forma natural de pensar na prova.
Passo 5
Multiplicar numerador e denominador por
e calcular:
- Multiplicando obtemos
- No denominador podemos juntar as raízes (mesmo índice):
- Mas
, porque elevar à quarta potência e tirar a raiz quarta anula: . - Portanto chegamos a
Passo 6
Simplificar a fração e comentários finais:
- Dividindo numerador e denominador por
: - Podemos também reescrever
como potência de : então - Ambas as formas são equivalentes; a forma com denominador racional é
(não há radical no denominador), que é a forma convencionalmente pedida ao “racionalizar”.