Determine:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2 x^{2}-3 x-5}{(2-x)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{2x^{2}-3x-5}{(2-x)^{2}}.
Informações dadas:
  • A função cuja limite se quer é \dfrac{2x^{2}-3x-5}{(2-x)^{2}}.
  • O ponto de aproximação é x=2.
O que se pede: determinar se o limite existe como número finito, diverge para +\infty ou para -\infty, ou não existe de outra forma.

Passo 2

Primeira observação por substituição direta: calcular o numerador e o denominador em x=2.
\text{Numerador: }2\cdot 2^{2}-3\cdot 2-5 = 8-6-5 = -3.
\text{Denominador: }(2-2)^{2}=0.
Então a forma é \dfrac{-3}{0}: numerador tende a um número diferente de zero ( -3) enquanto o denominador tende a 0. Isso indica que o limite não é um número finito, e provavelmente diverge (vai para +\infty ou -\infty). Para decidir o sinal e confirmar a divergência é preciso analisar com mais cuidado o comportamento ao redor de 2.

Passo 3

Fazemos a troca x=2+h com h\to 0 (isso facilita a expansão e ver o termo dominante). Então:
2x^{2}-3x-5 = 2(2+h)^{2}-3(2+h)-5.
Expandindo:
2(4+4h+h^{2}) -6 -3h -5 = 8+8h+2h^{2}-11-3h = -3 +5h +2h^{2}.
O denominador fica
(2-x)^{2} = (2-(2+h))^{2}=(-h)^{2}=h^{2}.
Portanto a razão é
\frac{2x^{2}-3x-5}{(2-x)^{2}}=\frac{-3+5h+2h^{2}}{h^{2}} = -\frac{3}{h^{2}}+\frac{5}{h}+2.

Passo 4

Analisando o comportamento quando h\to 0:
  • O termo -\dfrac{3}{h^{2}} tende para -\infty quando h\to 0 (pois h^{2}\to 0^{+} e o coeficiente é negativo).
  • O termo \dfrac{5}{h} tende para +\infty quando h\to 0^{+} e para -\infty quando h\to 0^{-}, mas cresce em ordem 1/|h|.
  • O termo constante 2 é irrelevante para a divergência.
Comparando ordens de grandeza: \dfrac{1}{h^{2}} cresce muito mais rápido que \dfrac{1}{|h|} quando h\to 0. Assim o termo dominante é -\dfrac{3}{h^{2}}, que manda toda a soma para -\infty independentemente de h se aproximar de 0 pela direita ou pela esquerda. Em palavras: o denominador é sempre positivo (por ser quadrado) e tende a 0, enquanto o numerador tende a -3 (negativo), então a razão tem sinal negativo e módulo tende a +\infty.
Logo a expressão diverge para -\infty quando x\to 2.

Resposta

-\infty

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