Determine:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A função cuja limite se quer é
. - O ponto de aproximação é
.
O que se pede: determinar se o limite existe como número finito, diverge para
ou para
, ou não existe de outra forma.
Passo 2
Primeira observação por substituição direta: calcular o numerador e o denominador em
.
Então a forma é
: numerador tende a um número diferente de zero (
) enquanto o denominador tende a
. Isso indica que o limite não é um número finito, e provavelmente diverge (vai para
ou
). Para decidir o sinal e confirmar a divergência é preciso analisar com mais cuidado o comportamento ao redor de
.
Passo 3
Fazemos a troca
com
(isso facilita a expansão e ver o termo dominante). Então:
Expandindo:
O denominador fica
Portanto a razão é
Passo 4
Analisando o comportamento quando
:
- O termo
tende para quando (pois e o coeficiente é negativo). - O termo
tende para quando e para quando , mas cresce em ordem . - O termo constante
é irrelevante para a divergência.
Comparando ordens de grandeza:
cresce muito mais rápido que
quando
. Assim o termo dominante é
, que manda toda a soma para
independentemente de
se aproximar de
pela direita ou pela esquerda. Em palavras: o denominador é sempre positivo (por ser quadrado) e tende a
, enquanto o numerador tende a
(negativo), então a razão tem sinal negativo e módulo tende a
.
Logo a expressão diverge para
quando
.