Determine:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2 x^{2}-3 x-5}{|2-x|}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to 2} \frac{2x^{2}-3x-5}{|2-x|}.
Informações fornecidas que vamos usar:
  • O numerador é o polinômio 2x^{2}-3x-5.
  • O denominador é o valor absoluto |2-x|.
  • Avaliando o numerador em x=2 obtém-se 2\cdot2^{2}-3\cdot2-5 = -3.
  • Avaliando o denominador em x=2 obtém-se |2-2|=0.
    Portanto, ao nos aproximarmos de x=2 o numerador tende a -3 (um número diferente de zero) e o denominador tende a 0. A partir daqui vamos analisar mais detalhadamente o comportamento lateral (pela esquerda e pela direita), porque |2-x| é uma função definida por partes.

Passo 2

Lembrete sobre valor absoluto e escrita por partes: para qualquer x\), \[|2-x|= \begin{cases} 2-x, & \text{se } x<2,\\[4pt] x-2, & \text{se } x>2. \end{cases}
(Em x=2\] o valor absoluto é \(0, mas o limite envolve pontos diferentes de 2.)
Por isso convém calcular as limites laterais \lim_{x\to2^-} e \lim_{x\to2^+} separadamente.]

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda. Para x<2 temos |2-x|=2-x. Logo
\lim_{x\to2^-}\frac{2x^{2}-3x-5}{|2-x|}=\lim_{x\to2^-}\frac{2x^{2}-3x-5}{2-x}.
O numerador é uma função polinomial contínua, logo
\lim_{x\to2^-}(2x^{2}-3x-5) = -3.
Para x\to2^- o denominador 2-x é positivo e tende a 0^{+}. Assim estamos numa situação do tipo \dfrac{\text{constante }(-3)}{0^{+}}. Como a constante é negativa, o quociente tende a -\infty. Portanto
\lim_{x\to2^-}\frac{2x^{2}-3x-5}{|2-x|} = -\infty.

Passo 4

Cálculo do limite pela direita. Para x>2 temos |2-x|=x-2. Logo
\lim_{x\to2^+}\frac{2x^{2}-3x-5}{|2-x|}=\lim_{x\to2^+}\frac{2x^{2}-3x-5}{x-2}.
De novo, o numerador tende a -3 quando x\to2. Para x\to2^+ o denominador x-2 é positivo e tende a 0^{+}. Portanto o quociente também é da forma \dfrac{-3}{0^{+}}, o que diverge para -\infty. Assim
\lim_{x\to2^+}\frac{2x^{2}-3x-5}{|2-x|} = -\infty.

Passo 5

Como ambas as limites laterais (pela esquerda e pela direita) existem e são iguais a -\infty, dizemos que o limite bilateral diverge para -\infty. Em linguagem de prova: o limite não é um número finito; a função tende a -\infty quando x se aproxima de 2.

Resposta

-\infty

Exercícios relacionados