Determine:
\lim _{x \rightarrow-\frac{5}{2}^{-}} \frac{3 x+2}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite unilateral
\lim_{x\to -\tfrac{5}{2}^{-}} \frac{3x+2}{x-2}.
As informações dadas são:
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{3x+2}{x-2}.
  • O ponto de aproximação é x=-\tfrac{5}{2} e a aproximação é pela esquerda (o superscrito {}^{-} indica isso).

Passo 2

Ideia importante (explicação didática): para funções racionais (quociente de polinômios) vale o seguinte:
  • Se o denominador não for zero em x=a, a função é contínua em x=a.
  • Para um ponto de continuidade a temos
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Ou seja, se a função for contínua em a, o limite unidirecional coincide com o valor da função em a. Vou usar isso aqui: primeiro verifico se o denominador em x=-\tfrac{5}{2} é zero ou não.

Passo 3

Calculo o denominador em x=-\tfrac{5}{2}:
x-2\Big|_{x=-\tfrac{5}{2}} = -\tfrac{5}{2}-2 = -\tfrac{5}{2}-\tfrac{4}{2} = -\tfrac{9}{2}.
Como -\tfrac{9}{2}\neq 0, o denominador não zera naquele ponto. Logo f é contínua em x=-\tfrac{5}{2} e posso substituir diretamente para obter o limite:
\lim_{x\to -\tfrac{5}{2}^{-}} \frac{3x+2}{x-2} = \frac{3\left(-\tfrac{5}{2}\right)+2}{-\tfrac{5}{2}-2}.

Passo 4

Agora calculo o numerador passo a passo:
3\left(-\tfrac{5}{2}\right)+2 = -\tfrac{15}{2}+2 = -\tfrac{15}{2}+\tfrac{4}{2} = -\tfrac{11}{2}.

Passo 5

E já calculei o denominador no Passo 3, que é -\tfrac{9}{2}. Então o quociente fica
\frac{-\tfrac{11}{2}}{-\tfrac{9}{2}}.
Simplificando a fração: dividir por uma fração equivale a multiplicar pelo inverso,
\frac{-\tfrac{11}{2}}{-\tfrac{9}{2}} = \left(-\tfrac{11}{2}\right)\cdot\left(-\tfrac{2}{9}\right).
Os sinais negativos se cancelam e as \tfrac{2}{\;} também simplificam:
\left(-\tfrac{11}{2}\right)\cdot\left(-\tfrac{2}{9}\right)=\tfrac{22}{18}=\tfrac{11}{9}.

Passo 6

Resumo final e um empurrãozinho motivador: a função era contínua no ponto pedido, portanto o limite unilateral é simplesmente o valor da função naquele ponto; depois de calcular com calma chegamos em \tfrac{11}{9}. Boa! Você conseguiu fazer a substituição direta e a simplificação de frações — técnica que aparece muito em prova.

Resposta

\dfrac{11}{9}

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