Determine:
\lim _{x \rightarrow-\frac{5}{2}^{+}} \frac{3 x+2}{x-2}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite unidirecional
\lim_{x\to -\tfrac{5}{2}^{+}} \frac{3x+2}{x-2}.
Informações dadas:
  • A função é a racional \dfrac{3x+2}{x-2}.
  • O ponto onde nos aproximamos é x=-\tfrac{5}{2}, e o limite é pela direita (valores de x maiores que -\tfrac{5}{2} aproximando-se dele).

Passo 2

Conceito importante (explicado de forma simples): para funções racionais (frações de polinômios), se o denominador no ponto considerado for diferente de zero, a função é contínua naquele ponto. Isso significa que o limite quando x tende ao ponto (pela direita ou pela esquerda) é simplesmente o valor da função nesse ponto. Em símbolos: se g(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} e q(a)\neq0, então
\lim_{x\to a} g(x)=g(a).
Aqui, devemos verificar se o denominador x-2 é zero em x=-\tfrac{5}{2}.

Passo 3

Avaliar o denominador em x=-\tfrac{5}{2}:
x-2\Big|_{x=-\tfrac{5}{2}} = -\tfrac{5}{2}-2 = -\tfrac{5}{2}-\tfrac{4}{2} = -\tfrac{9}{2}.
Como -\tfrac{9}{2}\neq0, a função é contínua em x=-\tfrac{5}{2}. Portanto o limite pela direita é o mesmo que o valor da função no ponto.

Passo 4

Calcular o valor da função em x=-\tfrac{5}{2}. Primeiro o numerador:
3x+2\Big|_{x=-\tfrac{5}{2}} = 3\cdot\left(-\tfrac{5}{2}\right)+2 = -\tfrac{15}{2}+\tfrac{4}{2} = -\tfrac{11}{2}.
Já temos o denominador (do Passo 3): -\tfrac{9}{2}.

Passo 5

Formar a fração e simplificar:
\frac{3x+2}{x-2}\Bigg|_{x=-\tfrac{5}{2}} = \frac{-\tfrac{11}{2}}{-\tfrac{9}{2}} = \left(-\tfrac{11}{2}\right)\cdot\left(-\tfrac{2}{9}\right) = \frac{22}{18} = \frac{11}{9}.

Resposta

\dfrac{11}{9}

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