Determine :
a equação da reta tangente à curva y^{2}+x^{2} y=1 no ponto (0,1)
Passo 1
O enunciado dá a curva definida implicitamente por y^{2}+x^{2}y=1 e pede a equação da reta tangente a essa curva no ponto (0,1).
Informações relevantes:
Equação da curva: y^{2}+x^{2}y=1.
Ponto onde queremos a tangente: (0,1).
Verificação rápida de que o ponto pertence à curva: substituindo x=0 e y=1 na equação obtém-se 1^{2}+0^{2}\cdot1=1, ou seja, 1=1, portanto o ponto pertence à curva.
Passo 2
O que precisamos para obter a reta tangente:
O coeficiente angular (declive) da reta tangente no ponto é \dfrac{dy}{dx} avaliado em (0,1).
A equação da reta tangente em forma ponto-declive é
y-y_0=m(x-x_0),
onde (x_0,y_0)=(0,1) e m=\dfrac{dy}{dx}\big|_{(0,1)}.
Como a função está dada implicitamente por y^{2}+x^{2}y=1, vamos usar diferenciação implícita para encontrar \dfrac{dy}{dx}. Antes de diferenciar, um lembrete das regras que vamos usar:
Regra da cadeia: se u(x) é função de x, então \dfrac{d}{dx}\big(u(x)^2\big)=2u(x)\,u'(x). Aqui, quando temos y^2, trata-se de u=y(x), então a derivada é 2y\cdot y', onde y'=\dfrac{dy}{dx}.
Regra do produto: se temos f(x)g(x), então \dfrac{d}{dx}[f g]=f' g + f g'. No termo x^2 y, trate f(x)=x^2 e g(x)=y(x).
Passo 3
Aplicando a diferenciação termo a termo à equação y^{2}+x^{2}y=1:
Derivada do primeiro termo y^{2}:
\frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=2y\cdot y'.
Derivada do segundo termo x^{2}y pelo produto:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=\frac{d}{dx}(x^{2})\cdot y + x^{2}\cdot\frac{d}{dx}(y)=2x\cdot y + x^{2}\cdot y'.
Derivada do lado direito 1 é 0.
Somando as derivadas:
2y\,y' + \big(2x\,y + x^{2}\,y'\big)=0.
Passo 4
Agrupando os termos que contêm y' e isolando y':
Primeiro escrevemos
2y\,y' + 2x\,y + x^{2}\,y' = 0.
Juntando y':
y'\,(2y + x^{2}) + 2x\,y = 0.
Isolando y':
y'(2y + x^{2}) = -2x\,y,
portanto
y' = -\dfrac{2x\,y}{2y + x^{2}}.
Observação: é importante verificar que o denominador 2y+x^{2} não seja zero no ponto considerado; faremos isso ao avaliar.
O denominador vale 2, que é diferente de zero, portanto a fórmula é válida. Conclusão: o declive da reta tangente em (0,1) é m=0. Isso significa que a reta tangente é horizontal.
Passo 6
Escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-declive: