Mostre que a função
definida por
é uniformemente contínua e não é lipschitziana.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos duas coisas sobre a função
Primeiro, que
é uniformemente contínua em
; segundo, que não existe constante
tal que
para todos
(ou seja,
não é Lipschitz). Vamos usar a definição
-
de uniformidade e um argumento por contradição para a parte de Lipschitz.
Passo 2
Para mostrar que
mas em qualquer caso vale
Esse denominador pode anular-se, então em vez disso usamos outra desigualdade clássica: se o mesmo raciocínio dá
Logo, para todos
temos
Passo 3
Com a desigualdade
fica fácil escolher
em função de
. De fato, se quisermos
basta garantir
Portanto, dado
, basta tomar
. Isso vale para todo par
, logo
é uniformemente contínua em
.
Passo 4
Para ver que
não é Lipschitz, suponha, por absurdo, que exista
tal que
Escolhendo
e
, isso vira
Mas, ao fazermos
, o lado esquerdo
, o que não pode ficar abaixo de um
fixo. Contradição. Logo, não existe tal constante
, e
não é Lipschitz.
Resposta
A função
é uniformemente contínua em
, mas não é Lipschitz.