Mostre que a função f:[0,1] R definida por f(x)=raizx é uniformemente contínua e não é lipschitziana.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos duas coisas sobre a função
f:[0,1]toR, f(x)=raizx
Primeiro, que f é uniformemente contínua em [0,1]; segundo, que não existe constante L tal que
|raizx-raizy|<= L,|x-y|
para todos x,yin[0,1] (ou seja, f não é Lipschitz). Vamos usar a definição varepsilon- de<a de uniformidade e um argumento por contradição para a parte de Lipschitz.

Passo 2

Para mostrar que
mas em qualquer caso vale
Esse denominador pode anular-se, então em vez disso usamos outra desigualdade clássica: se o mesmo raciocínio dá
Logo, para todos temos

Passo 3

Com a desigualdade
|raizx-raizy|<=raiz|x-y|
fica fácil escolher de<a em função de varepsilon. De fato, se quisermos
|raizx-raizy|<varepsilon,
basta garantir
raiz|x-y|<varepsilon Long<=ftrightarrow |x-y|<varepsilon^2
Portanto, dado varepsilon>0, basta tomar de<a=varepsilon^2. Isso vale para todo par x,y, logo f é uniformemente contínua em [0,1].

Passo 4

Para ver que f não é Lipschitz, suponha, por absurdo, que exista L>0 tal que
|raizx-raizy|<= L,|x-y| forall,x,yin[0,1]
Escolhendo y=0 e x>0, isso vira
raizx<= L,x Longrightarrow 1raizx<= L
Mas, ao fazermos xto0^+, o lado esquerdo tfrac1raizxto+infty, o que não pode ficar abaixo de um L fixo. Contradição. Logo, não existe tal constante L, e f não é Lipschitz.

Resposta

A função f(x)=raizx é uniformemente contínua em [0,1], mas não é Lipschitz.

Exercícios relacionados