Determine se o limite abaixo existe:
(b) \lim _{(x, x) \rightarrow(0)} \frac{x y^{4}}{x^{2}+y^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o seguinte limite existe quando o ponto se aproxima da origem:
\text{avaliar } \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\,y^{4}}{x^{2}+y^{3}}.
Observações sobre o enunciado: o original trouxe a notação (x,x)\rightarrow(0), que é estranha — provavelmente quis dizer (x,y)\to(0,0). Não tenho certeza sobre essa notação, então vou interpretar que o objetivo é estudar o limite em (0,0) no plano para a função f(x,y)=\dfrac{x\,y^{4}}{x^{2}+y^{3}}.
Informações dadas: a expressão da função está toda explícita. A pergunta é só: “existe o limite quando (x,y)\to(0,0)?” A resolução começa agora.

Passo 2

Estratégia e ideia didática (método usado): para limites de funções de duas variáveis, uma forma simples e usual de provar que o limite NÃO existe é encontrar duas curvas (dois caminhos) que levam à origem e para os quais os limites de f(x,y) ao longo desses caminhos sejam diferentes. Se eu achar dois caminhos com limites distintos, então o limite total não existe. Vou aplicar essa ideia: primeiro vou calcular o limite ao longo de alguns caminhos fáceis; se todos derem o mesmo valor eu teria que provar igualdade para todos os caminhos (mais difícil). Mas se eu encontrar um caminho com valor diferente, pronto — não existe.
Vou começar por caminhos simples (eixos) e depois procurar um caminho mais sofisticado que dê um valor diferente.

Passo 3

Limite ao longo do eixo x=0: tomar x=0 e y\to0. Substituindo na função,
f(0,y)=\frac{0\cdot y^{4}}{0^{2}+y^{3}}=\frac{0}{y^{3}}=0\quad\text{(para }y\neq0\text{)}.
Portanto, ao longo do caminho x=0 temos
\lim_{y\to0} f(0,y)=0.

Passo 4

Limite ao longo de um caminho cuidadosamente escolhido para produzir um valor diferente: ideia prática — quero que o denominador x^{2}+y^{3} tenha a mesma ordem de pequenaza que o numerador x\,y^{4}, de modo que a razão tenda para um número não nulo. Uma boa técnica é parametrizar por um parâmetro t\to0. Experimente a parametrização
x=t^{3},\qquad y=-t^{2}+t^{7},
com t\to0. Note que x\to0 e y\to0 quando t\to0, então essa curva vai para a origem.
Agora calculo o numerador e o denominador em função de t.
Calcular y^{3}. Usando a fórmula do cubo de uma soma:
y^{3}=(-t^{2}+t^{7})^{3}=(-t^{2})^{3}+3(-t^{2})^{2}(t^{7})+ \text{ termos de ordem superior}.
Isso dá explicitamente
y^{3}=-t^{6}+3t^{11}-3t^{16}+t^{21}.
Calcular x^{2}:
x^{2}=(t^{3})^{2}=t^{6}.
Somando,
x^{2}+y^{3}=t^{6}+(-t^{6}+3t^{11}-3t^{16}+t^{21})=3t^{11}-3t^{16}+t^{21}.
Agora o numerador x\,y^{4}. Primeiro y^{4}=(-t^{2}+t^{7})^{4}. O termo dominante é (-t^{2})^{4}=t^{8}; os próximos termos são de ordem maior (ex.: t^{13}, etc). Assim
y^{4}=t^{8}-4t^{13}+\text{termos de ordem maior},
e então
x\,y^{4}=t^{3}\bigl(t^{8}-4t^{13}+\cdots\bigr)=t^{11}-4t^{16}+\cdots.
Agora forme a razão:
\frac{x\,y^{4}}{x^{2}+y^{3}} =\frac{t^{11}-4t^{16}+\cdots}{3t^{11}-3t^{16}+t^{21}}.
Fatorando t^{11} no numerador e no denominador:
\frac{x\,y^{4}}{x^{2}+y^{3}} =\frac{t^{11}\bigl(1-4t^{5}+\cdots\bigr)}{t^{11}\bigl(3-3t^{5}+t^{10}\bigr)} =\frac{1-4t^{5}+\cdots}{3-3t^{5}+t^{10}}.
Quando t\to0 os termos com potências positivas de t desaparecem, então o quociente tende a
\frac{1}{3}.
Logo, ao longo da curva x=t^{3},\,y=-t^{2}+t^{7} obtemos
\lim_{t\to0}\frac{x\,y^{4}}{x^{2}+y^{3}}=\frac{1}{3}.

Passo 5

Conclusão por comparação de caminhos: ao longo do caminho x=0 o limite é 0, e ao longo da curva parametrizada por x=t^{3},\,y=-t^{2}+t^{7} o limite é \tfrac{1}{3}. Como esses dois limites são diferentes, a função não possui um único limite quando (x,y)\to(0,0). Portanto o limite total não existe.

Resposta

O limite não existe.

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