Determine se o limite abaixo existe:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o seguinte limite existe quando o ponto se aproxima da origem:
Observações sobre o enunciado: o original trouxe a notação
, que é estranha — provavelmente quis dizer
. Não tenho certeza sobre essa notação, então vou interpretar que o objetivo é estudar o limite em
no plano para a função
.
Informações dadas: a expressão da função está toda explícita. A pergunta é só: “existe o limite quando ?” A resolução começa agora.
Informações dadas: a expressão da função está toda explícita. A pergunta é só: “existe o limite quando
Passo 2
Estratégia e ideia didática (método usado): para limites de funções de duas variáveis, uma forma simples e usual de provar que o limite NÃO existe é encontrar duas curvas (dois caminhos) que levam à origem e para os quais os limites de
ao longo desses caminhos sejam diferentes. Se eu achar dois caminhos com limites distintos, então o limite total não existe. Vou aplicar essa ideia: primeiro vou calcular o limite ao longo de alguns caminhos fáceis; se todos derem o mesmo valor eu teria que provar igualdade para todos os caminhos (mais difícil). Mas se eu encontrar um caminho com valor diferente, pronto — não existe.
Vou começar por caminhos simples (eixos) e depois procurar um caminho mais sofisticado que dê um valor diferente.
Passo 3
Limite ao longo do eixo
: tomar
e
. Substituindo na função,
Portanto, ao longo do caminho
temos
Passo 4
Limite ao longo de um caminho cuidadosamente escolhido para produzir um valor diferente: ideia prática — quero que o denominador
tenha a mesma ordem de pequenaza que o numerador
, de modo que a razão tenda para um número não nulo. Uma boa técnica é parametrizar por um parâmetro
. Experimente a parametrização
com
. Note que
e
quando
, então essa curva vai para a origem.
Agora calculo o numerador e o denominador em função de
.
Calcular
. Usando a fórmula do cubo de uma soma:
Isso dá explicitamente
Calcular
:
Somando,
Agora o numerador
. Primeiro
. O termo dominante é
; os próximos termos são de ordem maior (ex.:
, etc). Assim
e então
Agora forme a razão:
Fatorando
no numerador e no denominador:
Quando
os termos com potências positivas de
desaparecem, então o quociente tende a
Logo, ao longo da curva
obtemos
Passo 5
Conclusão por comparação de caminhos: ao longo do caminho
o limite é
, e ao longo da curva parametrizada por
o limite é
. Como esses dois limites são diferentes, a função não possui um único limite quando
. Portanto o limite total não existe.
Resposta
O limite não existe.