Questão-01. Verdadeiro (V) ou falso(F). Justifique sua resposta
( ) Se \mathrm{f}^{\prime \prime}(\mathrm{x})>0 no intervalo I então a função \mathrm{f}(\mathrm{x}) tem concavidade positiva no intervalo I

Passo 1

O enunciado pede que eu decida se a afirmativa é verdadeira ou falsa e que eu justifique. A afirmativa é:
“( ) Se \mathrm{f}''(\mathrm{x})>0 no intervalo I então a função \mathrm{f}(\mathrm{x}) tem concavidade positiva no intervalo I.”
Informações dadas:
  • Está dito que \mathrm{f}''(x)>0 para todo x\in I.
  • A pergunta é se isso implica que \mathrm{f} tem “concavidade positiva” em I (ou seja, é “concava para cima” / convexa no sentido usual).

Passo 2

Vamos definir com clareza o que significa “concavidade positiva” (vou usar termos equivalentes para ficar claro). Dizemos que uma função f é convexa em um intervalo I (ou “tem concavidade positiva”) quando, para quaisquer a,b\in I e qualquer t\in[0,1], vale a desigualdade
f\big((1-t)a + t b\big) \le (1-t)f(a) + t f(b).
Geometricamente: o ponto da curva entre a e b fica abaixo ou sobre a corda que liga (a,f(a)) e (b,f(b)). É isso que queremos provar a partir de \:f''(x)>0\:.

Passo 3

Ideia do método: vou mostrar que \:f''(x)>0\: implica que, para quaisquer a<b em I, a função que pega combinações lineares entre a e b tem segunda derivada positiva; dessa forma essa função é convexa no segmento e satisfaz a desigualdade acima. Isso é uma prova direta usando a regra da cadeia (é uma maneira limpa e elementar de ligar f''>0 à propriedade de convexidade).

Passo 4

Construa a função auxiliar. Fixe a,b\in I com a<b. Defina a função de uma variável
h(t)=f\big((1-t)a + t b\big),\qquad t\in[0,1].
Aqui a variável t parametriza o segmento entre a ( t=0) e b ( t=1). Agora aplicamos a regra da cadeia para derivar h.

Passo 5

Calcule h'(t) e h''(t) usando a regra da cadeia. Primeiro,
h'(t)=f'\big((1-t)a+tb\big)\cdot (b-a),
pois a derivada de (1-t)a+tb em relação a t é b-a. Agora derivando novamente,
h''(t)=f''\big((1-t)a+tb\big)\cdot (b-a)^2.
Explicando: f''(\cdot) é a segunda derivada de f avaliada no ponto (1-t)a+tb; multiplicamos por (b-a)^2 porque a derivada da composição traz um fator (b-a) duas vezes.

Passo 6

Use a hipótese \:f''(x)>0\:. Como \:f''(x)>0 para todo x\in I e (1-t)a+tb\in I para t\in[0,1], temos
f''\big((1-t)a+tb\big)>0.
Além disso (b-a)^2>0. Portanto
h''(t)=f''\big((1-t)a+tb\big)\,(b-a)^2>0\quad\text{para todo }t\in[0,1].
Logo h tem segunda derivada positiva em [0,1], isto é, h é convexa em [0,1].

Passo 7

Conclua a desigualdade de convexidade para f. Como h é convexa em [0,1], vale para todo t\in[0,1]
h(t)\le (1-t)h(0) + t h(1).
Voltando às definições: h(0)=f(a), h(1)=f(b), e h(t)=f\big((1-t)a+tb\big). Portanto
f\big((1-t)a+tb\big)\le (1-t)f(a) + t f(b).
Seja x=(1-t)a+tb qualquer ponto entre a e b; então este t é t=(x-a)/(b-a) e a desigualdade acima é exatamente a definição de convexidade (concavidade positiva) de f no segmento [a,b]. Como a,b eram quaisquer pontos de I, f é convexa em todo I.

Passo 8

Comentário final e exemplo para fixar a intuição: a função f(x)=x^2 tem \:f''(x)=2>0\: para todo x, e a parábola é um exemplo clássico de curva com “concavidade positiva” (fica em forma de taça). Observação importante: a prova usou que f'' existe e é positiva em I; essa hipótese de diferenciabilidade duas vezes é necessária para usar este argumento. Se f'' não existir, a conexão precisa de hipóteses diferentes.

Resposta

V

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