Questão-01. Verdadeiro (V) ou falso(F). Justifique sua resposta
( ) Se
no intervalo I então a função
tem concavidade positiva no intervalo I
( ) Se
Passo 1
O enunciado pede que eu decida se a afirmativa é verdadeira ou falsa e que eu justifique. A afirmativa é:
“( ) Se
no intervalo
então a função
tem concavidade positiva no intervalo
.”
Informações dadas:
- Está dito que
para todo . - A pergunta é se isso implica que
tem “concavidade positiva” em (ou seja, é “concava para cima” / convexa no sentido usual).
Passo 2
Vamos definir com clareza o que significa “concavidade positiva” (vou usar termos equivalentes para ficar claro). Dizemos que uma função
é convexa em um intervalo
(ou “tem concavidade positiva”) quando, para quaisquer
e qualquer
, vale a desigualdade
Geometricamente: o ponto da curva entre
e
fica abaixo ou sobre a corda que liga
e
. É isso que queremos provar a partir de
.
Passo 3
Ideia do método: vou mostrar que
implica que, para quaisquer
em
, a função que pega combinações lineares entre
e
tem segunda derivada positiva; dessa forma essa função é convexa no segmento e satisfaz a desigualdade acima. Isso é uma prova direta usando a regra da cadeia (é uma maneira limpa e elementar de ligar
à propriedade de convexidade).
Passo 4
Construa a função auxiliar. Fixe
com
. Defina a função de uma variável
Aqui a variável
parametriza o segmento entre
(
) e
(
). Agora aplicamos a regra da cadeia para derivar
.
Passo 5
Calcule
e
usando a regra da cadeia. Primeiro,
pois a derivada de
em relação a
é
. Agora derivando novamente,
Explicando:
é a segunda derivada de
avaliada no ponto
; multiplicamos por
porque a derivada da composição traz um fator
duas vezes.
Passo 6
Use a hipótese
. Como
para todo
e
para
, temos
Além disso
. Portanto
Logo
tem segunda derivada positiva em
, isto é,
é convexa em
.
Passo 7
Conclua a desigualdade de convexidade para
. Como
é convexa em
, vale para todo
Voltando às definições:
,
, e
. Portanto
Seja
qualquer ponto entre
e
; então este
é
e a desigualdade acima é exatamente a definição de convexidade (concavidade positiva) de
no segmento
. Como
eram quaisquer pontos de
,
é convexa em todo
.
Passo 8
Comentário final e exemplo para fixar a intuição: a função
tem
para todo
, e a parábola é um exemplo clássico de curva com “concavidade positiva” (fica em forma de taça). Observação importante: a prova usou que
existe e é positiva em
; essa hipótese de diferenciabilidade duas vezes é necessária para usar este argumento. Se
não existir, a conexão precisa de hipóteses diferentes.
Resposta
V