Questão-02 Derive as funções usando regras de derivação
y=\left(\frac{x^{2}-4}{x+2}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
y=\left(\frac{x^{2}-4}{x+2}\right)^{3}.
Informações importantes fornecidas:
  • A expressão dentro do parênteses é \dfrac{x^{2}-4}{x+2}.
  • O expoente externo é 3.
  • Note que a expressão original não está definida em x=-2 porque o denominador seria zero. Portanto existe a condição x\neq -2.
  • A tarefa é encontrar a derivada y' (ou \dfrac{dy}{dx}) da função dada.

Passo 2

Primeira ideia útil: tentar simplificar a expressão interna antes de derivar, porque pode ficar bem mais fácil. Fatore o numerador:
x^{2}-4 = (x-2)(x+2).
Como o denominador é x+2, para x\neq -2 podemos cancelar:
\frac{x^{2}-4}{x+2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x-2 \quad\text{(para \(x\neq -2\))}.
Logo, para x\neq -2 a função fica
y=(x-2)^{3}.
Observação importante: eu peguei a informação da própria expressão algébrica dada no enunciado ao fatorar o numerador. Mantemos em mente que a igualdade só vale para x\neq -2 porque a função original não está definida em x=-2.

Passo 3

Agora vamos recordar a regra de derivação que usamos aqui — a regra da potência (que é um caso do “chain rule” quando há uma função composta simples).
Regra da potência / cadeia:
  • Se y=(u(x))^{n} onde u(x) é uma função diferenciável e n é um número inteiro, então
y' = n\,(u(x))^{\,n-1}\cdot u'(x).
Explicando cada parte:
  • u(x) é a “parte interna” (no nosso caso será x-2).
  • n é o expoente (no nosso caso 3).
  • u'(x) é a derivada da parte interna em relação a x.
    A ideia é primeiro “baixar” o expoente (multiplicar por n), reduzir o expoente em 1 e multiplicar pela derivada da parte interna.

Passo 4

Aplique a regra com u(x)=x-2 e n=3.
  • Calcule u'(x). Como u(x)=x-2, temos
u'(x)=\frac{d}{dx}(x-2)=1.
  • Agora aplique a fórmula da regra da potência:
y' = 3\,(x-2)^{3-1}\cdot 1.
Vou simplificar o expoente:
y' = 3\,(x-2)^{2}\cdot 1.
(Observe que aqui usei a simplificação do passo 2; todo esse raciocínio vale para x\neq -2 porque foi quando cancelei x+2.)

Passo 5

Pequena explicação do porquê essa simplificação é desejável: ao fatorar e cancelar a expressão interna a derivação ficou direta e rápida, apenas usando a regra da potência. Isso é muito útil em provas — sempre que você puder simplificar a função antes de derivar, normalmente é o caminho mais rápido e menos sujeito a erros.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, mas didática): se não tivéssemos simplificado, poderíamos aplicar a regra da cadeia combinada com a regra do quociente ao interior. Definindo
u(x)=\frac{x^{2}-4}{x+2},
poderíamos calcular u'(x) pela regra do quociente:
u'(x)=\frac{(2x)(x+2)-(x^{2}-4)\cdot 1}{(x+2)^{2}}.
Simplificando o numerador:
(2x)(x+2)-(x^{2}-4)=2x^{2}+4x-x^{2}+4 = x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}.
Logo
u'(x)=\frac{(x+2)^{2}}{(x+2)^{2}}=1\quad\text{(para \(x\neq -2\))}.
Aplicando a regra da cadeia então:
y' = 3\,(u(x))^{2}\cdot u'(x)=3\left(\frac{x^{2}-4}{x+2}\right)^{2}\cdot 1,
que, usando a simplificação interna, volta a dar 3(x-2)^{2} para x\neq -2. Isso confirma o resultado e mostra consistência entre métodos.

Passo 7

Observação final sobre o ponto x=-2: a função original não está definida em x=-2, então não podemos falar em derivada ali para a função dada no enunciado. Se alguém estender a função por continuidade em x=-2 atribuindo o valor limite, a expressão simplificada (x-2)^{3} poderia ser usada para avaliar limite e derivada do prolongamento; mas, estritamente para a função original, a derivada só faz sentido para x\neq -2.

Resposta

y'=3(x-2)^{2}\quad\text{para }x\neq -2

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