Questão-02 Derive as funções usando regras de derivação
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
Informações importantes fornecidas:
- A expressão dentro do parênteses é
. - O expoente externo é
. - Note que a expressão original não está definida em
porque o denominador seria zero. Portanto existe a condição . - A tarefa é encontrar a derivada
(ou ) da função dada.
Passo 2
Primeira ideia útil: tentar simplificar a expressão interna antes de derivar, porque pode ficar bem mais fácil. Fatore o numerador:
Como o denominador é
, para
podemos cancelar:
Logo, para
a função fica
Observação importante: eu peguei a informação da própria expressão algébrica dada no enunciado ao fatorar o numerador. Mantemos em mente que a igualdade só vale para
porque a função original não está definida em
.
Passo 3
Agora vamos recordar a regra de derivação que usamos aqui — a regra da potência (que é um caso do “chain rule” quando há uma função composta simples).
Regra da potência / cadeia:
Regra da potência / cadeia:
- Se
onde é uma função diferenciável e é um número inteiro, então
Explicando cada parte:
-
é a “parte interna” (no nosso caso será ). -
é o expoente (no nosso caso ). -
é a derivada da parte interna em relação a .
A ideia é primeiro “baixar” o expoente (multiplicar por), reduzir o expoente em 1 e multiplicar pela derivada da parte interna.
Passo 4
Aplique a regra com
e
.
- Calcule
. Como , temos
- Agora aplique a fórmula da regra da potência:
Vou simplificar o expoente:
(Observe que aqui usei a simplificação do passo 2; todo esse raciocínio vale para
porque foi quando cancelei
.)
Passo 5
Pequena explicação do porquê essa simplificação é desejável: ao fatorar e cancelar a expressão interna a derivação ficou direta e rápida, apenas usando a regra da potência. Isso é muito útil em provas — sempre que você puder simplificar a função antes de derivar, normalmente é o caminho mais rápido e menos sujeito a erros.
Passo 6
Verificação alternativa (opcional, mas didática): se não tivéssemos simplificado, poderíamos aplicar a regra da cadeia combinada com a regra do quociente ao interior. Definindo
poderíamos calcular
pela regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Logo
Aplicando a regra da cadeia então:
que, usando a simplificação interna, volta a dar
para
. Isso confirma o resultado e mostra consistência entre métodos.
Passo 7
Observação final sobre o ponto
: a função original não está definida em
, então não podemos falar em derivada ali para a função dada no enunciado. Se alguém estender a função por continuidade em
atribuindo o valor limite, a expressão simplificada
poderia ser usada para avaliar limite e derivada do prolongamento; mas, estritamente para a função original, a derivada só faz sentido para
.