Questão-02 Derive as funções usando regras de derivação
f(x)=\left(\frac{e^{-x} \cos (2 x)}{1+e^{x}}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\left(\frac{e^{-x}\cos(2x)}{1+e^{x}}\right)^{2}
e pede para derivá‑la, ou seja, encontrar f'(x). Informações relevantes que temos: a função é o quadrado de uma fração cujo numerador é um produto e^{-x}\cos(2x) e cujo denominador é 1+e^{x}. Não há restrições adicionais no enunciado.

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia porque f é a composição do quadrado com a função interna
g(x)=\frac{e^{-x}\cos(2x)}{1+e^{x}}.
Regra da cadeia (explicação): se \;f(x)=h(g(x))\; então
f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui h(u)=u^{2}, logo h'(u)=2u. Aplicando a regra da cadeia obtemos
f'(x)=2\,g(x)\,g'(x).
Ou seja precisamos calcular g'(x) e depois multiplicar por 2g(x).

Passo 3

Escrevemos g como quociente g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com
u(x)=e^{-x}\cos(2x),\qquad v(x)=1+e^{x}.
Para derivar g usamos a regra do quociente. Regra do quociente (explicação): se \;g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\; então
g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Portanto precisamos de u'(x) e v'(x).

Passo 4

Calculamos u'(x). Como u é produto u(x)=a(x)\,b(x) com a(x)=e^{-x} e b(x)=\cos(2x), usamos a regra do produto. Regra do produto (explicação): (ab)'=a'b+ab'.
Derivadas básicas necessárias:
a'(x)=\frac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x},
b'(x)=\frac{d}{dx}\cos(2x)=-2\sin(2x).
Aplicando a regra do produto:
u'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x) = -e^{-x}\cos(2x) + e^{-x}\big(-2\sin(2x)\big).
Agrupando fatores e^{-x}:
u'(x)=-e^{-x}\big(\cos(2x)+2\sin(2x)\big).

Passo 5

Calculamos v'(x). Como v(x)=1+e^{x},
v'(x)=\frac{d}{dx}(1+e^{x})=e^{x}.

Passo 6

Agora aplicamos a regra do quociente:
g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Substituindo u',u,v' e v:
g'(x)=\frac{-e^{-x}\big(\cos(2x)+2\sin(2x)\big)(1+e^{x}) - e^{-x}\cos(2x)\,e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}.
Para simplificar o numerador, fatoramos -e^{-x}:
\text{num} = -e^{-x}\Big[(\cos(2x)+2\sin(2x))(1+e^{x}) + \cos(2x)\,e^{x}\Big].
Dentro dos colchetes juntamos os termos com e^{x}:
(\cos+2\sin)(1+e^{x})+\cos\,e^{x} = (\cos(2x)+2\sin(2x)) + e^{x}\big(\cos(2x)+2\sin(2x)+\cos(2x)\big).
= (\cos(2x)+2\sin(2x)) + 2e^{x}\big(\cos(2x)+\sin(2x)\big).
Portanto
g'(x)=-e^{-x}\,\frac{\;(\cos(2x)+2\sin(2x)) + 2e^{x}(\cos(2x)+\sin(2x))\;}{(1+e^{x})^{2}}.

Passo 7

Voltamos a f'(x)=2g(x)g'(x). Substituindo g(x)=\dfrac{e^{-x}\cos(2x)}{1+e^{x}} e g'(x) acima:
f'(x)=2\cdot\frac{e^{-x}\cos(2x)}{1+e^{x}}\cdot\left(-e^{-x}\,\frac{(\cos(2x)+2\sin(2x)) + 2e^{x}(\cos(2x)+\sin(2x))}{(1+e^{x})^{2}}\right).
Multiplicando os fatores e reunindo exponenciais e potências do denominador:
f'(x)=-2\,\frac{e^{-x}\cos(2x)\;e^{-x}\Big[(\cos(2x)+2\sin(2x)) + 2e^{x}(\cos(2x)+\sin(2x))\Big]}{(1+e^{x})^{3}}.
Como e^{-x}e^{-x}=e^{-2x}, obtemos a forma final simplificada
f'(x)=-2\,\frac{e^{-2x}\cos(2x)\Big[(\cos(2x)+2\sin(2x)) + 2e^{x}(\cos(2x)+\sin(2x))\Big]}{(1+e^{x})^{3}}.

Resposta

f'(x)=-2\,\frac{e^{-2x}\cos(2x)\Big[(\cos(2x)+2\sin(2x)) + 2e^{x}(\cos(2x)+\sin(2x))\Big]}{(1+e^{x})^{3}}

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