Determine se o limite de cada uma das sequências abaixo existe ou não. No caso de existência, determine o limite da sequência.
(a_{n}=\frac{n!}{n^{n}}\
(a_{n}=\frac{n!}{n^{n}}\
Passo 1
O enunciado pede para analisarmos a sequência
, do tema convergência de sequências, e encontrarmos o limite caso ele exista. Vamos usar aqui o teste da razão, muito útil para mostrar que uma sequência que tende a zero decresce rapidamente.
Passo 2
Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
Passo 3
Agora avaliamos o limite dessa razão:
Como o limite da razão é menor que 1, o teste da razão nos garante que
converge e, mais precisamente, tende a zero.
Passo 4
Portanto, concluímos que
tem limite igual a zero quando
.
Resposta
0