Determine se o limite de cada uma das sequências abaixo existe ou não. No caso de existência, determine o limite da sequência.
(a_{n}=\frac{n!}{n^{n}}\

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos a sequência an=n!n^n, do tema convergência de sequências, e encontrarmos o limite caso ele exista. Vamos usar aqui o teste da razão, muito útil para mostrar que uma sequência que tende a zero decresce rapidamente.

Passo 2

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
an+1an= (n+1)!/(n+1)^n+1n!/n^n =(n+1)cdot n!(n+1)^n+1cdotn^nn! =n^n(n+1)^n =l(nn+1r)^n

Passo 3

Agora avaliamos o limite dessa razão:
limntoinftyl(nn+1r)^n =limntoinftyl(1-1n+1r)^n =e^-1<1
Como o limite da razão é menor que 1, o teste da razão nos garante que an converge e, mais precisamente, tende a zero.

Passo 4

Portanto, concluímos que an=n!n^n tem limite igual a zero quando ntoinfty.

Resposta

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