Determine o limite, caso exista:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que vão facilitar a análise quando estamos próximos da origem
.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
, onde
e
. Assim, a expressão
se torna
, já que:
Passo 3
Substituindo na expressão original, temos:
Aqui, utilizei a propriedade dos logaritmos
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de
. Sabemos que
tende a
quando
, mas
tende a
, então temos uma forma indeterminada do tipo
.
Passo 5
Para resolver essa indeterminação, vamos reescrever a expressão de forma a aplicar o limite de produto. Observamos que:
Sabemos que
é limitado, já que
. Então, precisamos avaliar o limite de
quando
.
Passo 6
Vamos analisar o limite de
quando
:
Vamos fazer uma substituição: seja
, então quando
,
. A expressão se torna:
Sabemos que
, mas como
está se aproximando de zero, o produto
tende a
, porque
vai a zero mais rápido que
vai para
.
Passo 7
Portanto, concluímos que:
E como
é limitado, multiplicar por
não altera o limite:
Resposta
O limite é igual a
.