Determine o limite, caso exista:
lim (x, y) longrightarrow(0,0) x ln (x^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim (x, y) longrightarrow(0,0) x ln (x^2+y^2). Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que vão facilitar a análise quando estamos próximos da origem (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (r, theta), onde x = r cos theta e y = r sin theta. Assim, a expressão x^2 + y^2 se torna r^2, já que:
x^2 + y^2 = (r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = r^2

Passo 3

Substituindo na expressão original, temos:
x ln (x^2+y^2) = r cos theta cdot ln (r^2) = r cos theta cdot 2 ln r = 2 r cos theta ln r
Aqui, utilizei a propriedade dos logaritmos ln(a^b) = b ln a.

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de 2 r cos theta ln r quando r se aproxima de 0. Sabemos que ln r tende a -infty quando r to 0^+, mas r tende a 0, então temos uma forma indeterminada do tipo 0 cdot (-infty).

Passo 5

Para resolver essa indeterminação, vamos reescrever a expressão de forma a aplicar o limite de produto. Observamos que:
2 r cos theta ln r = 2 cos theta cdot r ln r
Sabemos que cos theta é limitado, já que |cos theta| <= 1. Então, precisamos avaliar o limite de r ln r quando r to 0^+.

Passo 6

Vamos analisar o limite de r ln r quando r to 0^+:
limr to 0^+ r ln r
Vamos fazer uma substituição: seja t = r, então quando r to 0^+, t to 0^+. A expressão se torna:
limt to 0^+ t ln t
Sabemos que ln t to -infty, mas como t está se aproximando de zero, o produto t ln t tende a 0, porque t vai a zero mais rápido que ln t vai para -infty.

Passo 7

Portanto, concluímos que:
limr to 0^+ r ln r = 0
E como cos theta é limitado, multiplicar por 2 cos theta não altera o limite:
limr to 0^+ 2 r cos theta ln r = 2 cos theta cdot 0 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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