Determine a solução do Problema de Valor Inicial d yd t=t+yt-y ; y(1)=0
Escolha uma opção:
y(t)=4 t3-49+49 e^3(t-1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI dydt=t+yt-y,;y(1)=0. O conteúdo principal é ODE de primeira ordem homogênea, e vamos usar a substituição v= y t para reduzir a variáveis separáveis.

Passo 2

Com a troca y = vt vem dydt = v + tdvdt. Substituindo na ODE original:
v + tdvdt = t + vtt - vt = 1+v1-v
Então
tdvdt = 1+v1-v - v = 1+v - v(1-v)1-v = 1+v^21-v

Passo 3

Agora separamos as variáveis:
1-v1+v^2,dv = dtt
Integramos ambos os lados: à esquerda
integral 1-v1+v^2,dv = integral dv1+v^2 - integral v,dv1+v^2 = arctan v - tfrac12ln(1+v^2),
e à direita
integral dtt = ln t + C

Passo 4

Portanto obtemos a relação implícita
arctan v - tfrac12ln(1+v^2) = ln t + C
Usando a condiçao inicial t=1,;y=0 v=y/t=0, de onde arctan0 - tfrac12ln1 = 0 = ln1 + C e segue C=0. Assim
arctanl(tfrac y tr) - tfrac12lnl(1+(tfrac y t)^2r) = ln t

Passo 5

Esse é o formato mais simples em que a solução aparece de modo fechado. Se tentarmos a opção oferecida:
y(t)=4t3-49+tfrac49e^3(t-1), ao impor y(1)=0 obtém-se y(1)=4/3neq0, logo essa expressão não satisfaz o valor inicial dado.

Passo 6

Concluímos portanto que a única expressão apresentada não resolve o PVI. A solução correta fica dada de forma implícita pela relação encontrada.

Resposta

A solução geral que satisfaz o PVI é dada implicitamente por
arctanl(tfracytr)-tfrac12lnl(1+(tfracyt)^2r)=ln t,
e a expressão proposta não satisfaz y(1)=0.

Exercícios relacionados